Параметры нагруженного кронштейна, состоящего из шарнирно соединенных стальных стержней диаметром 0,01 м: М=50 кг, L=1 м. Требуется определить смещения в узлах конструкции и реакции опор методом конечных элементов. Весом стержней пренебречь.
Рис.1.
Решение
Пронумеруем узлы и элементы данной конструкции (см. рис. 2).
Рис.2.
Исследуемую конструкцию кронштейна можно моделировать восьмью линейными симплекс – элементами (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8).
Площадь поперечного сечения стержней A найдем следующим образом:
1) Вычисляем глобальную матрицу жесткости всей стержневой конструкции:
Для 1-ого стержня:Следовательно, согласно (*)
(*), матрица его жесткости в глобальной системе координат будет иметь вид:
Сверху и справа от матрицы показаны имена составляющих глобальных векторов смещений, соответствующих столбцам и строкам матрицы.
Для 2-ого стержня:
Следовательно, согласно (*)
(*), матрица его жесткости в глобальной системе координат будет иметь вид:
Для 3-его стержня:
Следовательно, согласно (*)
(*), матрица их жесткости в глобальной системе координат будет иметь вид:
Для 4-ого стержня:
Следовательно, согласно (*)
(*), матрица его жесткости в глобальной системе координат будет иметь вид:
Для 5-ого стержня:
Следовательно, согласно (*)
(*), матрица их жесткости в глобальной системе координат будет иметь вид:
Для 6-ого стержня:
Следовательно, согласно (*)
(*), матрица его жесткости в глобальной системе координат будет иметь вид:
Для 7-ого стержня:
Следовательно, согласно (*)
(*), матрица его жесткости в глобальной системе координат будет иметь вид:
Для 8-ого стержня:
Следовательно, согласно (*)
(*), матрица их жесткости в глобальной системе координат будет иметь вид:
искомую матрицу жесткости всей стержневой конструкции получим, складывая матрицы и по методу прямой жесткости.
2) Решающая система уравнений получается после умножения матрицы на глобальный вектор перемещений и приравнивания полученного произведения глобальному вектору нагрузки.
Индексы и вектора сил соответствуют глобальной системе координат.
3) Записываем выражения для граничных условий:
так как узлы 1 и 3 жестко закреплены, то ;
так как перемещение узла 2 ограничено по вертикали, то ;
так перемещение узла 4 ограничено по горизонтали, то ;
так как к узлу 6 приложена сила, то ;
так как направление вектора перемещений узла 5 совпадает с осью , то ;
так как узлу 5 разрешено свободно перемещаться по оси , то .
4) С учетом нулевых перемещений: , , вычеркиваем из глобальной матрицы жесткости соответствующие им строки и столбцы (с номерами 1,2,4,5,6 и 7), - в результате получим систему:
В полученной системе из шести уравнений имеется 11 неизвестных
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
