Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой

Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для её изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме?

Ответ

для изготовления палатки потребуется наименьшее количество материала при , где R – радиус основания палатки, H – высота цилиндрической части, h – высота конической верхушки.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Введем обозначения:
R – радиус основания палатки (он же радиус основания конической верхушки),
H – высота цилиндрической части,
h – высота конической верхушки.
Тогда объем палатки будет равен
.
Площадь поверхности палатки:
.
Таким образом, нам необходимо найти минимум функции
при условии
.
Составляем функцию Лагранжа:
,
где R>0, H>0, h>0.
Находим частные производные функции Лагранжа и приравниваем их нулю, получим систему
Решая эту систему, находим:
Получили одну стационарную точку нашей функции:
.
Для исследования вопроса об экстремуме в этой точке найдем значения вторых производных функции Лагранжа .
Составим матрицу Гессе (матрицу вторых частных производных) функции
:
В точке матрица Гессе примет вид:

Вычислим главные миноры этой матрицы:
.
Матрица Гессе знаконеопределенная, поэтому точка является седловой.
В нашей задаче она является точкой минимума

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу