Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой

Введем обозначения:
R – радиус основания палатки (он же радиус основания конической верхушки),
H – высота цилиндрической части,
h – высота конической верхушки.
Тогда объем палатки будет равен
.
Площадь поверхности палатки:
.
Таким образом, нам необходимо найти минимум функции
при условии
.
Составляем функцию Лагранжа:
,
где R>0, H>0, h>0.
Находим частные производные функции Лагранжа и приравниваем их нулю, получим систему
Решая эту систему, находим:
Получили одну стационарную точку нашей функции:
.
Для исследования вопроса об экстремуме в этой точке найдем значения вторых производных функции Лагранжа .
Составим матрицу Гессе (матрицу вторых частных производных) функции
:
В точке матрица Гессе примет вид:

Вычислим главные миноры этой матрицы:
.
Матрица Гессе знаконеопределенная, поэтому точка является седловой.
В нашей задаче она является точкой минимума