А) Отделить все корни алгебраического уравнения. Сделать чертеж.
б) Уточнить наименьший корень алгебраического уравнения методом Ньютона ( точность счета 0.01).
в) Уточнить наименьший корень алгебраического уравнения методом простой итерации (точность счета 0.03).
г) Уточнить наименьший корень алгебраического уравнения методом дихотомии (точность счета 0.03).
x3-9x2+26x-24=0
Ответ
найдено приближенное решение нелинейного уравнения, достаточно близкое к точному: x*≈2.
Решение
Дано нелинейное уравнение. Отделим корни алгебраического уравнения. Для этого построим график функции (рис. 1). Очевидно, уравнение имеет три корня: левый, средний и правый.
Найдем стационарные точки функции, определяемой левой частью исходного уравнения:
f'=x3-9x2+26x-24'=3x2-18x+26
x1,2ст=18±182-3126 x1ст=18-126=2,42265x2ст=18+126=3,57735
Вычислим значения функции в полученных точках:
fx1ст=2,422653-9∙2,422652+26∙2,42265-24=0,3849
fx2ст=3,577353-9∙3,577352+26∙3,57735-24=-0,3849
Рассмотрим отрезок x1ст;x2ст=2,42265; 3,57735. Так как функция принимает на концах отрезка x1ст;x2ст разные знаки, а первая производная сохраняет знак (функция на отрезке убывает), то средний корень может быть отделен на отрезке 2,4; 3,5⊂2,42265; 3,57735.
Отделим левый корень. В качестве правой границы отрезка может быть выбрана точка b=2,3<2,42265, а в качестве левой границы - любая точка из интервала -∞;2. Возьмем a=1,6.
Отделим правый корень. В качестве левой границы отрезка выберем точку a=3,6>3,57735, а в качестве правой границы - любую точку из интервала 4;+∞. Возьмем b=4,5.
Окончательно:
• левый корень уравнения отделен на отрезке 1,6;2,3;
• средний корень уравнения отделен на отрезке 2,4;3,5;
• правый корень уравнения отделен на отрезке 3,6;4,5.
Рисунок_1.
Уточним наименьший (левый) корень уравнения методом Ньютона на отрезке 1,6;2,3 (точность счёта ε=0,01).
Выберем начальное приближение корня x0=1,6.
Для проверки достаточных условий сходимости метода Ньютона из выбранной начальной точки построим график второй производной функции, определяемой левой частью уравнения:
fx=x3-9x2+26x-24; f'x=3x2-18x+26; f''x=6x-18.
Построим на чертеже график второй производной функции f''x=6x-18 (рис
. 1). По графику видно, что в выбранной начальной точке условия сходимости метода Ньютона выполняются: f1,6f''1,6>0.
Производим вычисления по формулам метода Ньютона.
Вычислим первое приближение корня:
x1=x0-fx0f'x0=1,6-1,63-9∙1,62+26∙1,6-243∙1,62-18∙1,6+26=1,87541
Тогда ∆=x0-x1=1,6-1,87541=0,27541>0,01; продолжаем вычисления.
Вычислим второе приближение корня:
x2=x1-fx1f'x1=1,87541-1,875413-9∙1,875412+26∙1,87541-243∙1,875412-18∙1,87541+26=1,981949
Тогда ∆=x0-x1=1,87541-1,981949=0,10654>0,01; продолжаем вычисления.
Последующие итерации запишем в виде таблицы.
№ x
fx
∆
1 1,6 -1,344 -
2 1,87541 -0,297682 0,10654
3 1,981949 -0,30785 0,01758
4 1,999531 -0,000939 0,00047
Вычисления закончены, так как достигнута заданная точность: ∆=0,00047<0,01.
Запишем полученное решение x*=2.
Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом простых итераций на отрезке 1,6;2,3 (точность счёта ε=0,03).
Преобразуем исходное уравнение fx=x3-9x2+26x-24 следующим образом:
x=x+α∙x3-9x2+26x-24
Возьмем α=-0,2, следовательно, будем иметь φx= x-0,2∙x3-9x2+26x-24.
Проверим условие сходимости метода простых итераций для преобразованного уравнения
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
