Отделить все корни алгебраического уравнения. Сделать чертеж

Дано нелинейное уравнение. Отделим корни алгебраического уравнения. Для этого построим график функции (рис. 1). Очевидно, уравнение имеет три корня: левый, средний и правый.
Найдем стационарные точки функции, определяемой левой частью исходного уравнения:
f'=x3+4x2-4x-16'=3x2+8x-4
x1,2ст=-8±82-4∙3∙-46=-8±476 x1ст=-4-273=-3,097x2ст=-4+273=0,431
Вычислим значения функции в полученных точках:
fx1ст=-3,0973+4∙-3,0972-4∙-3,097-16=5,049
fx2ст=0,4313+4∙0,4312-4∙0,431-16=-16,901
Рассмотрим отрезок x1ст;x2ст=-3,097; 0,431. Так как функция принимает на концах отрезка x1ст;x2ст разные знаки, а первая производная сохраняет знак (функция на отрезке убывает), то средний корень может быть отделен на отрезке -3;-1.
Отделим левый корень. В качестве правой границы отрезка может быть выбрана точка b=-3,5, а в качестве левой границы - любая точка из интервала -∞;-3. Возьмем a=-4,5.
Отделим правый корень. В качестве левой границы отрезка выберем точку a=1,5>0, а в качестве правой границы - любую точку b=2,5.
Окончательно:
• левый корень уравнения отделен на отрезке -4,5; -3,5;
• средний корень уравнения отделен на отрезке -3;-1;
• правый корень уравнения отделен на отрезке 1,5;2,5.
Рисунок_1.
Уточним наименьший (левый) корень уравнения методом Ньютона на отрезке -4,5;-3,5 (точность счёта ε=0,01).
Выберем начальное приближение корня x0=-4,5.
Для проверки достаточных условий сходимости метода Ньютона из выбранной начальной точки построим график второй производной функции, определяемой левой частью уравнения:
fx=x3+4x2-4x-16; f'x=3x2+8x-4; f''x=6x+8.
Построим на чертеже график второй производной функции f''x=6x+8 (рис . 1). По графику видно, что в выбранной начальной точке условия сходимости метода Ньютона выполняются: f-4,5f''-4,5>0.
Производим вычисления по формулам метода Ньютона.
Вычислим первое приближение корня:
x1=x0-fx0f'x0=-4,5--4,53+4∙-4,52-4∙-4,5-163∙-4,52+8∙-4,5-4=-4,10843
Тогда ∆=x0-x1=-4,5--4,10843=0,39157>0,01; продолжаем вычисления.
Вычислим второе приближение корня:
x2=x1-fx1f'x1
x2=-4,10843--4,108433+4∙-4,108432-4∙-4,10843-163∙-4,108432+8∙-4,10843-4=-4,00702
Тогда ∆=x2-x1=-4,10843--4,00702=0,10142>0,01; продолжаем вычисления.
Вычислим третье приближение корня:
x3=x2-fx2f'x2=-4,00003
Тогда ∆=x3-x2=-4,00702--4,00003=0,00698<0,01; останавливаем вычисления.
Вычисления закончены, так как достигнута заданная точность: ∆=0,00698<0,01.
Запишем полученное решение x*≈-4.
Уточнить наименьший (левый) корень уравнения методом простых итераций на отрезке -4,5;-3,5 (точность счёта ε=0,03).
Преобразуем исходное уравнение fx=x3+4x2-4x-16 следующим образом:
x=x+α∙x3+4x2-4x-16
Возьмем α=-0,05, следовательно, будем иметь φx= x-0,05∙x3+4x2-4x-16.
Проверим условие сходимости метода простых итераций для преобразованного уравнения