Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду

A=1;B=122=6;C=36
Т.к. B2-AC=0, то наше уравнение – параболического типа.
Записываем уравнение характеристик:
(dy)2-12dxdy+36dx2=0
dydx2-12dydx+36=0
dydx-62=0 dydx=6
Решаем полученное дифференциальное уравнение:
dy=6dx
Интегрируем:
dy=6dx
y=6x+c
y-6x=C
Имеем только одну группу характеристик α=y-6x
Функцию β выбираем произвольно, например, β=x, проверяя обязательно условие, что якобиан перехода отличен от нуля:
Jx,y=αxαyβxβy=αxβy-αyβx=-6∙0-1∙1=-1≠0
Находим производные:
αx=-6; αy=1 ;αxx=αxy=αyy=0βx=1; βy=0;βxx=βxy=βyy=0
Учитывая это, имеем:
ux=∂u∂α∙∂α∂x+∂u∂β∙∂β∂x=-6uα+uβ
uy=∂u∂α∙∂α∂y+∂u∂β∙∂β∂y=uα
uxx=∂ux∂α∂α∂x+∂ux∂β∂β∂x=36uαα-12uαβ+uββ
uxy=∂ux∂α∂α∂y+∂ux∂β∂β∂y=-6uαα+uαβ
uyy=∂uy∂α∂α∂y+∂uy∂β∂β∂y=uαα
Подставляем найденные производные в первоначальное уравнение:
36uαα-12uαβ+uββ+12-6uαα+uαβ+36uαα+3-6uα+uβ+18uα=0
Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем:
uββ+3uβ=0
Или, выражая вторую производную:
uββ=-3uβ
Рассматривая полученное уравнение как линейное с постоянными коэффициентами и находя корни характеристического уравнения:
k2+3k=0 k1=0,k2=-3
Получаем общее решение:
u=φ1α+φ2αe-3β
Возвращаясь к переменным x,yполучаем общее решение исходного уравнения:
u=φ1y-6x+φ2y-6xe-3x
Где φ1,φ2-произвольные, дважды дифференцируемые функции