Определить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы скорость тела 1 как функцию пройденного этим телом пути S и ускорение тела 1. Найти ускорения тела 1 с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода и закон движения тела 1. Определить ускорение тела 1 с помощью общего уравнения динамики и найти натяжение нитей.
Считать, что движение системы начинается из состояния покоя под действием силы тяжести тела 1. Учесть трение скольжения тела 1 (коэффициент трения скольжения - f ).
Тела считать абсолютно твердыми, а нити - абсолютно нерастяжимыми и невесомыми.
Дано:
m1, m2, m3, m4 - массы тела 1, неподвижного блока 2, ступенчатого подвижного блока 3, тела 4.
R2 – радиус блока 2;
R3, r3 – радиусы ступеней подвижного блока 3;
J3 – момент инерции ступенчатого подвижного блока 3 относительно его оси симметрии;
f- коэффициент трения скольжения тела 1;
α – угол наклона плоскости, по которой перемещается тело 1.
Найти: v1=f S; a1
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
v1=2 S (m1g(sin∝-fcos∝)-g r3R3+r3m3+m4)m1+12m2+m3r32+J3+m4r32R3+r32
a1=m1g(sin∝-fcos∝)-g r3R3+r3m3+m4m1+12m2+m3r32+J3+m4r32R3+r32
Решение
1. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме:
Eк-Ек0=к=1nАке+к=1nАкi
Изменение кинетической энергии механической системы на её конечном перемещении равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе на этом же конечном перемещении.
к=1nАкi=0. Так как работа внутренних сил натяжений нерастяжимой нити равна нулю, то сумма работ внутренних сил равна нулю для всей системы абсолютно твердых тел, соединённых нитью.
Ек0=0 - кинетическая энергия системы в начальном положении равна нулю, так как по условию движение системы начинается из состояния покоя.
Таким образом, получаем:
Eк=к=1nАке
2. Кинетическая энергия механической системы в конечном положении:
Eк=Eк1+Eк2+Eк3+Eк4
Тела 1, 4 движутся поступательно. Неподвижный блок 2 вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через т.О. Ступенчатый блок 3 совершает плоское движение. Поэтому получаем:
Eк=m1v122+J2w222+m3vc22+J3w322+m4v422=m1v122+12m2R22 w222+m3vc22+J3w322+m4v422
J2=12m2R22 – момент инерции сплошного однородного цилиндра.
2.а
. Линейные и угловые скорости всех тел выразим через искомую
скорость v1.
Из анализа схемы системы видно, что скорость центра тяжести первого
тела v1 равна скоростям точек В, D на ободе неподвижного блока 2 и
скорости т.К на ободе подвижного блока 3:
v1=vB=vD=vK
Поэтому получаем:
ω2=vBR2=v1R2
Точка Cv – МЦС подвижного блока. Мгновенный центр скоростей (МЦС) – точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Из курса кинематики известна теорема о том, что при
плоскопараллельном движении скорости точек плоской фигуры прямо пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей. Следовательно:
ω3=vKСvK=v1R3+r3
vc=ω3∙CvC=v1∙r3R3+r3
Тело 4 крепится к оси подвижного блока и движется поступательно:
v4=vc=v1∙r3R3+r3
2,б. Выражения ω2=v1R2, ω3=v1R3+r3, vc=v1∙r3R3+r3, v4=v1∙r3R3+r3
подставляем в выражение для Eк, полученное в начале:
Eк=m1v122+12m2R22 v12R22 2+m3v12r32(R3+r3)22+J3v12(R3+r3)22+m4v12r32(R3+r3)22=12v12 (m1+12m2+m3r32+J3+m4r32R3+r32)
3. Находим сумму работ внешних сил к=1nАке на перемещении S.
Изображаем все внешние силы, приложенные к механической системе.
В выражение к=1nАке входят работы не только активных (задаваемых) сил, но и реакций внешних связей.
Реакция наклонной плоскости N1 и составляющая силы тяжести m1gcos∝ перпендикулярны перемещению S
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
