Исходные данные
Рис. 5
Параметр a: a=2 м.
Сечение: два швеллера №36.
Характеристики материала балки: σт=350 МПа;E=190000 МПа.
Требуется
1. Определить реакции опор и выполнить проверку найденных реакций.
2. Построить эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил в общем виде.
3. Из условия прочности по напряжениям изгиба найти значение допускаемой нагрузки [q].
4. Построить эпюры нормальных и касательных напряжений для опасных сечений.
5. Из условия прочности по нормальным напряжениям изгиба (для найденной нагрузки [q]) подобрать для балки прямоугольное сечение с отношением сторон h/b=2 и сплошное круглое сечение диаметром D, оценить рациональность сечений, сравнив массу балок с различными сечениями.
6. Определить перемещение и угол поворота для одного из сечений на границе между участками двумя способами – начальных параметров и энергетическим, результаты сравнить.
Для расчетов принять коэффициент запаса прочности n=1,5.
Решение
Определение реакций опор
Определим реакции опор (рис. 7) из уравнений равновесия:
MA=0: -RB∙2+M-P1∙7-q∙4∙9=0;
RB=M-P1∙7+q∙4∙92=134,22∙106q-5q∙7-q∙4∙92=67,11∙106q;
MB=0: M-P1∙9-q∙4∙11-RA∙2=0;
RA=M-P1∙9-q∙4∙112=134,22∙106q-5q∙9-q∙4∙112=67,11∙106q.
Проверка:
Fy=-RA+RB-P1-q∙4=-67,11∙106q+67,11∙106q-5q-q∙4≈0.
2. Построение эпюр изгибающих моментов М и перерезывающих сил Q
Разбиваем схему на три участка (рис. 6).
Участок 1 0≤x1≤4
Qx1=-q∙x1; Q0=0; Q4=-4q;
Mx1=-q∙x1∙x12;
M0=0; M4=-q∙4∙42=-8q.
Участок 2 0≤x2≤7
Qx2=-q∙4-P1=-4q-5q=-9q;
Mx2=-q∙4∙42+x2-P1∙x2=-q∙4∙2+x2-5q∙x2;
M0=-8q;
M7=-q∙4∙2+7-5q∙7=-71q.
Участок 3 0≤x3≤2
Qx3=-RB=-67,11∙106q;
Mx3=RB∙x3=67,11∙106q∙x3;
M0=0; M2=67,11∙106q∙2=134,22∙106q.
По полученным значениям строим эпюры Q и М (рис. 6). Причем, эпюру М строим на сжатых волокнах.
Рис. 6
3. Определение значения допускаемой нагрузки [q] из условия прочности по напряжениям изгиба
Условие прочности при изгибе:
σmax=MmaxWz≤σ.
где σmax- максимальное напряжение;
σ- допускаемое напряжение.
Для пластичных материалов:
σ=σтn=3501,5=233,33 МПа.
Момент сопротивления одного швеллера №36 с уклоном внутренних граней полок согласно ГОСТ 8240-97:
Wz=601,0 см3.
Тогда
MmaxWz=134,22∙106q2∙601,0∙10-6≤σ=233,33∙106;
q≤233,33∙106∙2∙601,0∙10-6134,22∙106=2,09∙10-3Нм=2,09∙10-6 кН/м.
4. Построение эпюр нормальных и касательных напряжений для опасных сечений
Опасным является сечение А справа. В нем максимальны и M и Q. Определим для него максимальные нормальные и касательные напряжения
. Максимальные нормальные напряжения в опасном сечении равны допускаемому напряжению:
σmax=σ=233,33 МПа.
Максимальные касательные напряжения достигают максимального значения на уровне нейтральной оси, и они равны:
τmax=Q∙2Sz2Iz∙2d=67,11∙106∙2,09∙10-3∙2∙350∙10-62∙10820∙10-8∙2∙7,5∙10-3=
=30,25∙106 Па=30,25 МПа,
где Sz- статический момент полусечения,
Iz- момент инерции,
d- толщина стенки.
Касательные напряжения на уровне сопряжения полки и стенки:
τ=Q∙2Sz*2Iz∙2d=67,11∙106∙2,09∙10-3∙2∙240,75∙10-62∙10820∙10-8∙2∙7,5∙10-3=
=20,81∙106 Па=20,81 МПа,
где Sx*- статический момент площади сечения полки:
Sz*=b∙t∙h-t2=11∙1,26∙36-1,262=240,75 см3.
Строим эпюры по полученным значениям (рис. 7).
Рис. 7
5. Подбор прямоугольного и сплошного круглого сечений
Подбираем прямоугольное сечение:
Wz=bh26=0,5∙h36=h312;
h≥312Mmaxσ=312∙134,22∙106∙2,09∙10-3233,33∙106=0,2434 м=243,4 мм.
Принимаем по ГОСТ 6636-69 прямоугольное сечение bхh=125х250 мм.
Подбираем круглое сечение:
Wz=πD332;
D≥332∙Mmaxπ∙σ=332∙134,22∙106∙2,09∙10-33,14∙233,33∙106=0,2295 м=229,5 мм.
Принимаем по ГОСТ 6636-60 диаметр D=230 мм.
Сравним массы балки с различными сечениями. Главным признаком экономичности сечения будем считать расход материала на стержень. Примем плотность стали γ=7850 кгм3. Определим для балки каждого типа сечения ее вес G по формуле:
G=A∙l∙γ.
Балка круглого сечения
G=3,14∙230∙10-324∙13∙7850=4240 кг.
Балка прямоугольного сечения
G=0,25∙0,125∙13∙7850=3189 кг
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
