Определить положение центра тяжести всего сечения

Рис. 1 – Начальная схема
Построим расчетную схему, исходя из значений данных, взятых в таблице 1.
Рис. 2 – Расчетная схема
1 – двутавр; 2 – вертикальный лист; 3 – швеллер; 4 – горизонтальный лист
Рассчитаем для каждого элемента конструкции площадь поперечного сечения, осевые и центробежный моменты инерции относительно осей Οxy.
Двутавр № 30 (данные в соответствии с ГОСТ 8239-86):
b1 = 30 см; h1 = 13,5 см; A1 = 46,5 см2; Ix1 = 337 см4; Iy1 = 7080 см4; Ix1y1 = 0.
Вертикальный лист:
b2 = 1 см; h2 = 60 см; A2 = b2 h2 = 60 · 1 = 60 см2;
Ix2 = b2h2312=1⋅60312 = 18000 см4;
Iy2 = b23h212=13⋅6012 = 5 см4;
Ix2y2 = 0.
Швеллер № 18 (данные в соответствии с ГОСТ 8240-86):
b3 = 18 см; h3 = 7 см; y03 = 1,94 см; A3 = 20,7 см2;
Ix3 = 86 см4;
Iy3 = 1090 см4;
Ix3y3 = 0.
Горизонтальный лист:
b4 = 40 см; h4 = 1,2 см; A4 = b4 h4 = 40 · 1,2 = 48 см2;
Ix4 = b4h4312=40⋅1,2312= 5,76 см4;
Iy4 = b43h412=403⋅1,212= 6400 см4;
Ix4y4 = 0.
Определяем площадь всего сечения.
A = ∑Ai = 46,5 + 60 + 48 + 20,7 = 175,2 см2,
где Ai - площадь i-го профиля.
Определяем положение центра тяжести сечения.
Определяем положение центра тяжести составного сечения. Для этого проводим вспомогательные оси (х, у) так, чтобы все сечение располагалось в первом квадранте . Отмечаем координаты центра тяжести каждого элемента относительно принятой точки отсчета. Определяем координаты центров тяжести составных профилей:
x1=b12=3002=150 мм=15 см; y1=h12=1352=67,5 мм=6,75 см
x2=b1+b22=300+102=305 мм=30,5 см; y2=h22=6002=300 мм=30 см
x3=b1+b2+b32=300+10+1802=400 мм=40 см; y3=h2-y04=600-29,4=570,6 мм=57,06 см
x4=b1+b2+b42=300+10+4002=510 мм=51 см; y4=h2+h42=600+122=606 мм=60,6 см
xC = ∑ (Ai · xi)/A, yC = ∑ (Ai · yi)/A
xC = ∑(Ai · xi)/A = (46,5 · 15 + 60 · 30,5 + 48 · 40 + 20,7 · 51)
/ 175,2 = 31,4 см,
yC = ∑(Ai · yi)/A = (46,5 · 6,75 + 60 · 30 + 48 · 57,06 + 20,7 · 60,6)
/ 175,2 = 34,9 см,
где, xi, yi - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.
Точка С – координата центра тяжести составного сечения, найденная пересечением центральных координатных осей.
Определяем моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC.
IXс = ∑Ii Xс,
IYс = ∑Ii Yс,
IXсYс = ∑Ii XсYс,
где IiXс, IiYс, IiXсYс - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:
Ii Xс = Ixi + ai2·Ai,
Ii Yс = Iyi + bi2·Ai,
Ii XсYс = Ixiyi + ai·bi·Ai,
где, ai = yi – yC, bi = xi – xC - смещения центра тяжести i-го профиля по осям YC и XC соответственно.
Определим смещения центра тяжести каждого профиля (рис.3).
Для двутавра:
a1=y1-yС=6,75-34,9=-28,15 см;
b1=x1-xС=15-31,4=-16,4 см;
Для вертикального листа:
a2=y2-yС=30-34,9=-4,9 см;
b2=x2-xС=30,5-31,4=-0,9 см;
Для швеллера:
а3=y3-yС=57,06-34,9=22,16 см;
b3=x3-xС=40-31,4=8,6 см