Определить тип уравнения и найти его решение

Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения, запишем характеристическое уравнение и решим его:
k2+9=0
k2=-9
k1,2=±3i
Так как получились чисто мнимые сопряженные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1cos3x+C2sin3x
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Asinx
Найдём первую и вторую производные от данного выражения:
y'=Acosx
y''=-Asinx
Подставляем в уравнение:
-Asinx+9Asinx=sinx
8Asinx=sinx
Получили уравнение:
8A=1
A=18
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Asinx=sinx8
Тогда общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1cos3x+C2sin3x+sinx8