Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение

Имеем линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида
rxy'+pxy=qx,
где rx=x, px=1,qx=lnx.
Решается данное уравнение заменой: y=UV,y'=U'V+UV'
Имеем:
x(U'V+UV')+UV=lnx
xU'V+xUV'+UV=lnx
xU'V+U(xV'+V)=lnx
Составим и решим систему уравнений:
xV'+V=0xU'V=lnx
Решаем первое уравнение системы . Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим их:
xdVdx=-V
dVV=-dxx
Интегрируем обе части уравнения:
dVV=-dxx
lnV=-lnx
Используем свойство логарифмов plna=lnap:
lnV=lnx-1→V=1x
Подставляем во второе уравнение системы:
xU'1x=lnx
U'=lnx
Интегрируем:
U=lnxdx=Интегрирование по частямUdV=UV-VdUПусть U=lnx→dUdx=lnx'=1x→dU=dxxПусть dV=dx→V=dx=x=
=xlnx-xdxx=xlnx-dx=xlnx-x+C=xlnx-1+C
Возвращаемся к замене и получаем общее решение дифференциального уравнения:
y=UV=1xxlnx-1+C=lnx-1+Cx, C-const