Определить при каком значении параметра C заданная функция fx является функцией плотности случайной величины

Найдем C из условия
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞10dx+12Cx-1dx+2∞0dx=12Cx-1dx=2Cx-112=2C=1
2C=1 ⟹C=12
Плотность распределения имеет вид
fx=12x-1, 1<x<20, x≤1, x≥2
Найдем функцию распределения Fx. Используем формулу
Fx=-∞xfxdx
Если -∞<x≤1, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dx=0
Если 1<x<2, то
Fx=-∞10dx+1x12x-1dx=x-11x=x-1
Если 2≤x<+∞, то
Fx=-∞10dx+1212x-1dx+2x0dx=x-112=1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, -∞<x≤1x-1, 1<x<21, 2≤x<+∞
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=-∞1x∙0dx+12x∙12x-1dx+2∞x∙0dx=12x2x-1dx=u=xdv=12x-1du=dxv=x-1=xx-112-12x-1dx=2-23x-13212=2-23=43≈1,3333
Дисперсия
DX=MX2-MX2
MX2=-∞∞x2fxdx=12x2∙12x-1dx=12x22x-1dx=u=x2dv=12x-1du=2xdxv=x-1=x2x-112-122xx-1dx=4-122xx-1dx=u=2xdv=x-1du=2dxv=23x-132=4-43xx-13212+1243x-132dx=4-83+815x-15212=43+815=2815
DX=MX2-MX2=2815-432=2815-169=84-8045=445≈0,0889
Среднее квадратическое отклонение
σX=DX=445=235≈0,2981
Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале a,b, равна приращению функции распределения на этом интервале
Pa<X<b=Fb-Fa
P1,5<X<8=F8-F1,5=1-1,5-1=1-0,5≈0,2929