Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Составим характеристическое уравнение:
k2+2k+5=0
Найдем корни. Дискриминант:
D=b2-4ac=22-4∙1∙5=4-20=-16
Имеем:
k1=-b-D2a=-2--162=-2-4i2=-1-2i
k2=-b+D2a=-2+-162=-2+4i2=-1+2i
Получили комплексные сопряженные корни вида k=a±bi, поэтому общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
y=eaxC1cosbx+C2sinbx=e-xC1cos2x+C2sin2x
Чтобы найти частное решение, найдем производную первого порядка от общего решения:
y'=e-xC1cos2x+C2sin2x'=
=e-x'C1cos2x+C2sin2x+e-xC1cos2x+C2sin2x'=
=e-x-x'C1cos2x+C2sin2x+e-x-C1sin2x2x'+C2cos2x2x'
=-e-xC1cos2x+C2sin2x+e-x-2C1sin2x+2C2cos2x
Найдем частное решение, решив систему при начальных условиях:
y=e-xC1cos2x+C2sin2xy'=-e-xC1cos2x+C2sin2x+e-x-2C1sin2x+2C2cos2x
0=e-0C1cos(2∙0)+C2sin(2∙0)0=-e-0C1cos(2∙0)+C2sin(2∙0)+e-0-2C1sin(2∙0)+2C2cos(2∙0)
0=C10=-C1+2C2→C1=0C2=C12=02=0
Частное решение имеет вид:
yч=e-x0cos2x+0sin2x=0