Определение реакций опор и усилий в стержнях плоской фермы

1. Составим расчетную схему.
2. Определим реакции опор.
Составим уравнение моментов всех сил относительно точки A.
Ma=-P5*2-P2*2-P3*4-P4*6+Rb*12=0
Rb=P5*2+P2*2+P3*4+P4*612
Rb=5*2+2*2+3*4+3*612=3,667 кН
Составим уравнение моментов всех сил относительно точки B.
Mb=-Ra*12-P5*2+P1*12+P2*10+P3*8+P4*6=0
Ra=-P5*2+P1*12+P2*10+P3*8+P4*612
Ra=-5*2+2*12+2*10+3*8+3*612=6,333 кН
Составим уравнение проекций всех сил на ось x.
Fx=P5-Rax=0
Rax=P5=5 кН
Проверка:
Составим уравнение проекций всех сил на ось y.
Fy=Ra+Rb-P1-P2-P3-P4=0
6,333+3,667-2-2-3-3=0
Реакции определены верно.
3. Определим параметры углов.
sina=cosa=0,707
a=450
sinb=2,52,52+22=0,781
cosb=22,52+22=0,625
b≈51,340
sinc=332+22=0,832
cosc=232+22=0,555
c≈56,310
sine=142+12=0,243
cose=442+12=0,97
e≈14,040
4. Определим усилия в стержнях методом вырезания узлов.
Узел 2
Fx=N24+P5=0
N24=-P5=-5 кН
Стержень сжат.
Fy=-N12-P1=0
N12=-P1=-2 кН
Стержень сжат.

Силовой многоугольник узла.
Из силового многоугольника:
N12=-P1=-2 кН
N24=-P5=-5 кН
Узел 1
Fx=N13*cose+N14*sina-Rax=0
Fy=N12+Ra+N14*cosa-N13*sine=0
N13=N12+Ra+N14*cosasine
N12*cose+Ra*cose+N14*cosa*cose+N14*sina*sine-Rax*sine=0
N14=-N12*cose-Ra*cose+Rax*sinecosa*cose+sina*sine
N14=2*0,97-6,333*0,97+5*0,2430,707*0,97+0,707*0,243=-3,484 кН
Стержень сжат.
N13=-2+6,333-3,484*0,7070,243=7,695 кН
Стержень растянут.
Силовой многоугольник
Из геометрии силового многоугольника получим
c одной стороны:
AB=N132+N142-2N13*N14*cos(a+e)
c другой стороны:
AB=(Ra-N12)2+Rax2
значит,
N132+N142-2N13*N14*cos(a+e)=(Ra-N12)2+Rax2
7,6952+3,4842-2*7,695*3,484*cos59,040=
=(6,333-2)2+52
6,616=6,616
Вывод: усилия N13 и N14 определены верно.
Узел 4
Fx=N46-N24-N14*cosa=0
N46=N24+N14*cosa
N46=-5-3,484*0,707=-7,463 кН
Стержень сжат.
Fy=-P2-N34-N14*sina=0
N34=-P2-N14*sina
N34=-2+3,484*0,707=0,463 кН
Стержень растянут.
Силовой многоугольник
Из геометрии силового многоугольника получим
N34+P2=N14cosa
0,463+2=3,484*0,707
2,463=2,463
N46=N24+N14*cosa
N46=5+3,484*0,707=7,463 кН
Узел 3
Fx=N35*cose+N36*cosb-N13*cose=0
Fy=N34+N13*sine+N36*sinb-N35*sine=0
N35=N13*cose-N36*cosbcose
N34*cose+N13*sine*cose+N36*sinb*cose-
-N13*cose*sine+N36*cosb*sine=0
N36=-N34*cosesinb*cose+cosb*sine
N36=-0,463*0,970,781*0,97+0,625*0,243=-0,494 кН
Стержень сжат.
N35=7,695*0,97+0,494*0,7810,97=8,093 кН
Стержень растянут.
Силовой многоугольник
Из геометрии силового многоугольника получим
c одной стороны:
AB2=N342+N132-2N34*N13*cos(90+14,04)
c другой стороны:
AB2=N362+N352-2N36*N35*cos(45+14,04)
значит,
0,4632+7,6952-2*0,463*7,695*cos104,040=
0,4942+8,0932-2*0,494*8,093*cos59,040
61,156≈61,127
Узел 6
Fx=N68-N36*cosb-N46=0
N68=N36*cosb+N46
N68=-0,494*0,625-7,463=-7,772 кН
Стержень сжат.
Fy=-P3-N56-N36*sinb=0
N56=-P3-N36*sinb
N56=-3+0,494*0,781=-2,614 кН
Стержень сжат.
Силовой многоугольник
Аналитические результаты совпадают с результатами силового многоугольника.
Узел 5
Fy=N356+N58*sinc+N35*sine=0
N58=-N56-N35*sinesinc
N58=2,61-8,093*0,2430,832=0,778 кН
Стержень растянут.
Fx=N57+N58*cosc-N35*cose=0
N57=-N58*cosc+N35*cose
N57=-0,778*0,555+8,093*0,97=7,418 кН
Стержень растянут.
Силовой многоугольник
Из геометрии силового многоугольника получим:
AK=N35*sine=8,093*0,243=1,967
N58=N56-AKsinc=2,614-1,9670,832=0,778 кН
N57=BK-CK=N35*cose-N58*cosc
N57=8,093*0,97-0,778*0,555=7,418 кН
Узел 7
N79=N57=7,418 кН
Стержень растянут.
N78=0
Узел 14
Узел не нагружен, поэтому
N12-13=0 N13-14=0
Узел 13
Fx=-N11-13*cose-N12-13*sina=0
Fy=N12-13*cosa-N11-13*sine+Rb=0
N11-13=-N12-13*sinacose
N12-13*cosa*cose+N12-13*sina*sine+Rb*cose=0
N12-13=-Rb*cosecosa*cose+sina*sine
N12-13=-3,667*0,970,707*0,97+0,707*0,243=-4,148 кН
Стержень сжат.
N11-13=4,148*0,7070,97=3,023 кН
Стержень растянут.
Силовой многоугольник
Из геометрии треугольника получим:
Rbsin(90+e-a)=N12-13sin(90-e)=N11-13sina
N12-13=Rb*sin(90-e)sin(90+e-a)
N12-13=3,667*sin(90-14,04)sin(90+14,04-45)=4,148 кН
N11-13=Rb*sinasin(90+14,04-45)
N11-13=3,667*0,707sin59,040=3,023 кН
Узел 12
Fx=N12-13*cosa-N10-12=0
N10-12=N12-13*cosa
N10-12=-4,148*0,707=-2,933 кН
Стержень сжат.
Fy=-N11-12-N12-13*sina=0
N11-12=-N12-13*sina
N11-12=4,148*0,707=2,933 кН
Стержень растянут.
Силовой многоугольник
N11-12=N10-12=N12-13*22=4,148*22=2,933 кН
Узел 11
Fx=N11-13*cose-N9-11*cose-N10-11*cosb=0
Fy=N11-12+N10-11*sinb+N11-13*sine-N9-11*sine=0
N9-11=N11-13*cose-N10-11*cosbcose
N11-12*cose+N10-11*sinb*cose+N11-13*sine*cose-
-N11-13*cose*sine+N10-11*cosb*sine=0
N10-11=-N11-12*cosesinb*cose+cosb*sine
N10-11=-2,933*0,970,781*0,97+0,625*0,243=-3,128 кН
Стержень сжат.
N9-11=3,023*0,97+3,128*0,6250,97=5,038 кН
Стержень растянут.
Силовой многоугольник
c одной стороны:
AB2=N11-122+N11-132-2N11-12*N11-13*cos104,040
c другой стороны:
AB2=N10-112+N9-112-2N10-11*N9-11*cos65,380
Таким образом,
2,9332+3,0232-2*2,933*3,023*cos104,040=
=5,0382+3,1282-2*5,038*3,128*cos65,380
22,043≈22,035
Узел 10
Fx=N10-12+N10-11*cosb-N8-10=0
Fy=-N10-11*sinb-N9-10=0
N9-10=-N10-11*sinb
N9-10=3,128*0,781=2,443 кН
Стержень растянут.
N8-10=N10-12+N10-11*cosb
N8-10=-2,933-3,128*0,625=-4,888 кН
Стержень сжат.
Силовой многоугольник
N9-10=N10-11*sinb=3,128*0,781=2,443
N8-10=N10-11*cosb+N10-12=4,888
Узел 9
Fx=N9-11*cose-N79-N89*cosc=0
N89=N9-11*cose-N79cosc
N89=5,038*0,97-7,4180,555=-4,561 кН
Стержень сжат.
Узел 8 (проверка)
Fx=N8-10+N89*cosc-N58*cosс-N68=0
-4,888-4,561*0,555-0,778*0,555+7,772=0
Fy=-P4-N78-N89*sinc-N58*sinc=0
-3+4,561*0,832-0,778*0,832=0
Равновесие узла соблюдается.
5