Определение реакции промежуточной опоры двухпролетной неразрезной балки

Балка является один раз статически неопределимой системой. Отбрасываем опору В, заменяя ее действие, неизвестной пока реакцией RВ, в итоге получаем эквивалентную систему (рис.7,б). Применим метод решения, обычно называемый способом сравнения перемещений. За «лишнюю» неизвестную примем реакцию опоры В. Следовательно, вертикальное перемещение сечения В балки должно быть равно нулю, так как в заданной балке в этом месте имеется опора. Применив принцип независимости действия сил, найдем прогиб сечения В отдельно от системы внешних нагрузок и от реакции RВ и полученные результаты алгебраически сложим:
увн + уRв = 0, (1). Прогиб от реакции RВ, равен по известной формуле:
уRв = - RВ·(4а)3/(8Е·JZ) = - 8·RВ·а3/ (Е·JZ) = - 8·RВ·13/(Е·JZ) = - 8·RВ/(Е·JZ), (2)
Прогиб от системы внешних нагрузок увн определим на основе универсального уравнения упругой линии в виде (начало координат помещаем на опоре А):
у = уА + θА·х + RА·х3/(6Е·JZ) + Р·(х -а)3/(6Е·JZ) - q·(х - 2а)4/(24Е·JZ), (3),здесь уА = 0.
Определяем реакцию RА, для чего составляем уравнение равновесия в виде:
ΣМС = 0, RА·4а - Р·3а + q·2a·a = 0, отсюда находим:
RА = (3·Р - 2·q·a)/4 = (3·12 - 2·4·1,0)/4 = 7,0 кН.
Для опоры С прогиб уС = 0 и х = 4а, тогда подставляя в уравнение (3), получаем:
0 = θА·4а + RА·(4а)3 /(6Е·JZ) + Р·(4а -а)3/(6Е·JZ) - q·(4а - 2а)4/(24Е·JZ), или
0 = θА + RА·16а2/(6Е·JZ) + 6,75Р·а2/(6Е·JZ) - 4 q·а3/(24Е·JZ), или
θА = - 2,667 RА·а2/(Е·JZ) - 1,125 а2/(Е·JZ) + 0,167q·а3/(Е·JZ), подставляем числовые значения величин:
θА = - 2,667·7,0·12/(Е·JZ) - 1,125·12/(Е·JZ) + 0,167·4·13/(Е·JZ) = -19,126/(Е·JZ)
Для сечения В (х = 2а), уравнение (3), примет вид:
увн = θА·2а + RА·(2а)3/(6Е·JZ) + Р·(2а -а)3/(6Е·JZ), или
увн = θА·2а + 1,333·RА·а3/(Е·JZ) + 0,167·Р·а3/(Е·JZ),
подставляем числовые значения величин:
увн = -19,126·2·1/(Е·JZ) + 1,333·7,0·13/(Е·JZ) + 0,167·12·13/(Е·JZ) = -26,917/(Е·JZ)
Суммируем прогибы согласно уравнения (1):
-26,917/(Е·JZ) - 8·RВ/(Е·JZ) = 0, отсюда находим реакцию RВ:
RВ = -26,917/8,0 = - 3,365 кН, знак «минус» указывает на то, что в действительности реакция направлена противоположно показанному на рис.7,б).
Построение эпюр Q и М.
Разбиваем длину балки на три характерных силовых участка: I, II и III и для каждого из них составляем аналитические зависимости Q= Q(x) и М = М(х), на основании которых строим эпюры, рассматривая балку как статически определимую после определения реакции RВ, но предварительно найдя с помощью уравнений равновесия реакции опор А и С.
ΣМА = 0, Р·а + RB·2a - q·2a·3a - M + RС·4а = 0, (4)
ΣМС = 0, RА·4а - Р·3а - RB·2a + q·2a·а - M = 0, (5)
Из уравнения (4), находим:
RС = - Р/4 - RB/2 + 1,5·q·a + M/4а = - 12/4 + 3,365/2 + 1,5·4·1 + 6/(4·1) = 6,183 кН.
Из уравнения (5), получаем:
RА= 0,75·Р + 0,5·RB - 0,5·q·a + М/(4·а) = 0,75·12 - 0,5·3,365 - 0,5·4·1 + 6/(4·1) =
= 6,818 кН