Определение линейных и угловых перемещений в однопролётной балке

Определение опорных реакций
Рис. 7.1. Расчётная схема
Из условия статического равновесия балки на двух опорах имеем:
ΣМFiB=0; Rca+b-F2·d+b+a+m+q1·c·c2-q1·a·a2=0;
Rc=F2·d+b+a-m-q1·c·c2+q1·a·a2a+b=18·3,8-22-14·1·0,5+14·1,2·0,62,7≃18,33 кН;
ΣМFic=0; -RBa+b+m-F2·d+q1·c·c2+a+b+q1·a·a2+b=0;
RB=m-F2·d+q1·c·c2+a+b+q1·a·a2+ba+b=22-18·1,1+14·1·3,2+14·1,2·2,12,7≃30,47 кН.
Проверка: ΣFiy=0,
ΣFiy=0; RB-q1·(c+a)-F2+Rc=0,
30,47-14·2,2-18+18,33=0;
0≡0.
2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ ПО ДЛИНЕ БАЛКИ
Вычислим изгибающие моменты и поперечные силы в характерных точках балки (B, C, D, K, E):
MuB=0 кН·м;
MuD=-q1∙c∙c2=-14∙1∙12=-7 кН·м ;
MuC=-q1∙c+a∙c+a2+RB∙a=-14∙2,2∙1,1+30,47∙1,2=2,69 кН·м;
MuE=0;
MuK=-F2·d+m=-18∙1,1+22=2,2 кН·м
QB=0 кН;
QD=-q1∙c+RB=-14∙1+30,47=16,47 кН ; QD=-q1∙c+a+RB=-14∙2,2+30,47=-0,33 кН ;
QC=-q1∙c+a+RB+RC=-14∙2,2+30,47+18,33=18 кН;
QE=-q1∙c+a+RB+RC-F2=-14∙2,2+30,47+18,33+18=0 кН.
Рис. 7.3. Эпюры внутренних усилий.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ СЕЧЕНИЯ БАЛКИ
Требуемый момент сопротивления опасного сечения по условию прочности на изгиб по нормальным напряжениям:
σu=Mu(max)Wx≤σu
где Mu(max)=19,8 кН·м – момент в опасном сечении;
σu=σyny=2401,0=240 МПа; тогда:
Wx≥Muσu=19,8·106240=82500 мм3,
Для прямоугольного сечения балки осевой момент сопротивления
Wx=b∙h26=b∙3b26=9b36=1,5∙b3 .
Из (3.7.2.) и (3.7.3.) находим размер «b» сечения:
1,5∙b3=82500; b=3825001,5≃38 мм;
Тогда:h=3b=3·38=114 мм .
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ СЕЧЕНИЙ БАЛКИ
Для определения прогибов используем универсальное уравнение изогнутой линии (оси) балки:
yz=y0+φ0∙zi+1EJx∙ΣMiZi-aMi32!+Fizi-aFi33!++qi(zi-aqi)44!, (3.7.7.)
где y0, φ0 – прогиб и угол поворота сечения в начале координат;
zi - координата рассматриваемой точки;
Mi, Fi, qi – соответствующая нагрузка на рассматриваемом участке балки;
aMi, aFi, aqi – расстояния от начала координат до точек применения соответствующих нагрузок.
Рассмотрим три участка балки (I, II, III) рис.3.7.4. и составим выражение для прогибов балки в пределах этих участков:
yZ=y0+φ0∙zi+1EJx∙-q∙zi-04241йуч,+RB∙zi-136+q∙zi-14242йуч,+RC∙zi-3,736-mzi-3,7223йуч,,
Для определения неизвестного параметра φ0 используем граничное условие на опорах В и С: y(B)=0, при z=1 м и y(C)=0 при z=3,7 м
yB=y0+φ0∙zi+1EJx∙-q∙zi-04241йуч,=0
yC=y0+φ0∙zi+1EJx∙-q∙zi-04241йуч,+RB∙zi-136+q∙zi-14242йуч,=0
y0+φ0∙1+-14∙1-0424=0y0+φ0∙4+-14∙3,7-0424+30,47∙3,7-136+14∙3,7-1424=0
y0=7,988EJx;φ0=-7,405EJx
Для характерных точек балки (рис.3.7.4.) получим окончательное выражение для прогибов балки:
yZ=7,988EJx-7,405EJx∙zi+1EJx∙-q∙zi-04241йуч,+RB∙zi-136+q∙zi-14242йуч,+RC∙zi-3,736-mzi-3,7223йуч,,Для первого участка (0≤z1<1 м)
yZ1=7,988EJx-7,405EJx∙zi+1EJx∙-q∙zi-04241йуч,
y0=7,988EJx-7,405EJx∙0+1EJx∙-q∙0-0424=7,988 кН·мм3EJx
где E=2·105 МПа; Jx=b∙h312=38·114312=4,69·106 мм4;
EJx=9,38·1011 Н·мм2
y0=7,988·10129,38·1011=-8,51 мм
y1=7,988EJx-7,405EJx∙1+1EJx∙-14∙1-0424=0
Для второго участка (1≤z2<3,7 м)
yZ2=7,988EJx-7,405EJx∙zi+1EJx∙-q∙zi-04241йуч,+RB∙zi-136+q∙zi-14242йуч,
y1=7,988EJx-7,405EJx∙1+1EJx∙-14∙1-0424=0
y2,2=7,988EJx-7,405EJx∙2,2+1EJx∙-14∙2,2-0424+30,47∙2,2-136+14∙2,2-1424=-11,983 кН·мм3EJx
y2,2=-11,983·10129,38·1011=-12,77 мм
y3,7=7,988EJx-7,405EJx∙3,7+1EJx∙-14∙3,7-0424+30,47∙3,7-136+14∙3,7-1424=0
Для третьего участка (3,7≤z3<4,8 м)
yZ3=7,988EJx-7,405EJx∙zi+1EJx∙-q∙zi-04241йуч,+RB∙zi-136+q∙zi-14242йуч,+RC∙zi-3,736-mzi-3,7223йуч,,
y3,7=7,988EJx-7,405EJx∙3,7+1EJx∙-14∙3,7-0424+30,47∙3,7-136+14∙3,7-1424=0
y4,8=7,988EJx-7,405EJx∙3,7+1EJx∙-14∙3,7-0424+30,47∙3,7-136+14∙3,7-1424+18,33∙4,8-3,736-22·4,8-3,722=-7,02 кН·мм3EJx
y4,8=-7,02·10129,38·1011=-7,48 мм
5