Определение кинематических параметров для материальной точки, движущейся криволинейно
Дано:
x = x(t) = 7 sin( t2) + 3, см (1), y = y(t) = 2 - 7 cos(·t2), см (2), t1 = 1 c,
Требуется: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t= t1 (сек) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.
Ответ
v1 = 7,33 см/с, w1 = см/с2, w1τ = 7,32 см/с2, w1n = 7,26 см/с2, ρ1 = 7,40 см.
Решение
Уравнения движения: x(t) и y(t), являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения, предварительно применяя из- вестную тригонометрическую формулу: sin2φ + cos2φ = 1, (3)
Из уравнения (1): sin( t2) = (x - 3)/7,
Из уравнения (2): cos(·t2) = (2 - y) /7 и учитывая (3), получим:
(x - 3)2 + (2 - y)2 = 72, - это уравнение эллипса, координаты центра симметрии которого: ХС = 3 см и YC = 2 cм.
Находим положение точки М в момент времени t = 0 c:
x1 = 7·sin(π·02/6) + 3 = 3,0 см; у1 = 2 -7· cos(π·02/6) = - 5,0 см.
Отмечаем положение точки М0 на траектории.
Находим положение точки М в момент времени t1 = 1 c:
x1 = 7·sin(π·12/6) + 3 = 6,5 см; у1 = 2 -7· cos(π·12/6) = - 4,06 см.
Отмечаем положение точки М1 на траектории.
Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат,
vx = x = d[(7·sin(π·t2/6) + 3]/dt = 7·π·t·[cos(π·t2/6)]/3, (4)
vy = y = d[2 - 7 cos(π·t2/6)]/dt = 7·π·t·[sin(π·t2/6)]/3, (5)
. Находим проекции и модуль скорости точки в момент времени t1 = 1 c:
v1х = 7·π·1·[cos(π·12/6)]/3 = 6,35 см/с,
v1у = 7·π·1·[sin(π·12/6)]/3 = 3,66 см/с,
v1 = (v21х + v21у)1/2 = (6,352 + 3,662)1/2 = 7,33 см/с.
Аналогичным образом находим ускорения точки:
wх = d(vx)/dt = d[7·π·t·[cos(π·t2/6)]/3] )/dt = (7π/3)·[cos(π·t2/6) - t·π·2t·sin(π·t2/6)/6] =
= (7π/3)·[cos(π·t2/6) - π·t2·sin(π·t2/6)/3],
wу = d(vy)/dt = d[7·π·t·[sin(π·t2/6)]/3] )/dt = (7π/3)·[sin(π·t2/6) + π·t2·cos(π·t2/6)/3].
Находим проекции и модуль ускорения точки в момент времени t1 = 1 c:
w1х = (7π/3)·[cos(π·12/6) - π·12·sin(π·12/6)/3] = 2,51см/с2,
w1у = (7π/3)·[sin(π·12/6) + π·12·cos(π·t2/6)/3] = 10,31см/с2.
w1 = (w21х + w21у)1/2 = (2,512 + 10,312)1/2 =10,61см/с2.
Касательное ускорение определим по формуле:
w1τ = (v1х·w1х + v1у·w1у)/v1 = (6,35·2,51 + 3,66·10,31)/7,33 = 7,32 см/с2.
Нормальное ускорение определим по формуле:
w1n = (w21 - w21τ) 1/2 = (10,312 - 7,322) 1/2 = 7,26 см/с2.
Радиус кривизны траектории определим по формуле:
ρ1 = v21/w1n = 7,332/7,26 = 7,40 см.
Примечание
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
