Определение кинематических характеристик движения материальной точки
По заданным координатным методом уравнениям движения точки, найти уравнение траектории точки. Для момента времени t1= 1с вычислить ее скорость, нормальное, касательное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории. На рисунке в масштабе изобразить траекторию движения точки и для заданного момента времени t1= 1с построить векторы скорости и ускорения.
X = 4 cos πt4 – 2
Y = 4 cos πt2 + 2
t1 = 1 с
Решение
Для нахождения уравнения траектории, по которой движется точка, следует из уравнений движения исключить время. Исключим из заданных уравнений движения параметр, воспользовавшись формулой двойного угла
cos πt2 = cos2 πt4 – sin2 πt4
cos2 πt4 = (X+24)2
sin2 πt4 = 1 – cos2 πt4 = 1 - (X+24)2
cos πt2 = Y-24
Приравниваем полученные выражения
Y-24 = (X+24)2 – (1 - (X+24)2)
Преобразуем полученные выражения
Y-24 = (X+24)2 – 1 + (X+24)2
Y – 2 = 4 (216 (X + 2)2 – 1)
Y – 2 = 12 (X + 2)2 – 4
Y = 0,5 (X + 2)2 – 2 – это парабола
2. Определяем положение точки M на траектории в заданный момент времени
X(1) = 4 cos π4 - 2 = 0,83 см Не исправлено – неверно Верно, причем это можно проверить посредством калькулятора
Y(1) = 4 cos π2 + 2 = 2 см
3
. Для вычисления скорости точки, движение которой задано координатным способом, применяется формулаV = VXi + VYj
Используя правило векторного сложения, получаем V = VX2+ VY2
VX = X = ddt (4 cos πt4 – 2) = 4 ∙ π4 (-sin πt4) = -π sin πt4
VY = Y = ddt (4 cos πt2 + 2) = 4 ∙ π2 (-sin πt2) = -2π sin πt2
Численное значение скорости для момента времени t1 = 1 с
VX(1) = -π sin π4 = -2,22 см/с
VY(1) = -2π sin π2 = -6,28 см/с
V = VX2+ VY2V(1) = (-2,22)2+ (-6,28)2 = 6,66 см/с
4. Величина ускорения точки при задании ее движения координатным способом вычисляется по формулеa = aXi + aYj
Используя правило векторного сложения, получаем a = aX2+ aY2
aX = X = ddt (-π sin πt4) = - π24 cos πt4
aY = Y = ddt (-2π sin πt2) = -π2 sin πt2
Численное значение ускорения для момента времени t1 = 1 с
aX(1) = - π24 cos π4 = -1,74 см/с2
aY(1) = -π2 sin π2 = 0
a = aX2+ aY2a(1) = (-1,74)2+ 02 = 1,74 см/с2
5
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
