Оператор А в пространстве V задан соотношением A(x)

Пусть в базисе i,j,k задан произвольный вектор →a = {α1, α2, α3} . Тогда его образ есть вектор V→a = {α1, α2, 0} .
Для доказательства воспользуемся правилами операций над векторами в координатной форме.
Получаем
"→a = {α1, α2, α3} О V3 , "→b = {β1, β2, β3} О V3 и "α О R :
^P(→a + →b) = {α1 + β1, α2 + β2, 0} = {α1, α2, 0} + {β1, β2, 0} = ^P→a + ^P→b ;
^P(α→a) = {αα1, αα2, 0} = α{α1, α2, 0} = α^P→a .
Условия линейности выполнены, следовательно, оператор ^P линеен.