Одномерная безусловная минимизация
Дана функция Fx=x2-2N+5,001x+1x4+N+1x2+10
7.1. Показать, что на отрезке [N+2;N+8] находится только один локальный минимум (или одно наименьшее значение).
7.2. Найти локальный минимум или наименьшее значение данной функции на отрезке [N+2;N+8] с точностью до 10-2 методом золотого сечения
7.3. Оценить интервал неопределенности локального минимума или наименьшего значения, принадлежащего отрезку [N+2;N+8], если все расчеты проводятся с точностью до 10-8
7.4. Оценить относительную погрешность найденного локального минимума или наименьшего значения по отношению к относительной погрешности коэффициента при x в первой степени (т.е. -2(N+5,001), считая, что последняя равна 10%).
Fx=x2-52,002x+1x4+22x2+10
Решение
Покажем, что на отрезке [23;29] находится только один локальный минимум (или одно наименьшее значение).
Вычислим первую производную заданной функции:
F'x=2x-52,002-4x3+44x(x4+22x2+10)2
Найдем ее значения на концах отрезка:
F'23=-6,002
F'(29)=5,998
Так как на концах отрезка она имеет разные знаки и непрерывна, то на этом промежутке у нее существует корень.
Учитывая, что вторая производная F"(x) положительна на отрезке [23,29], приходим к выводу, что исходная функция будет иметь единственный минимум на заданном отрезке.
Найдем локальный минимум или наименьшее значение данной функции на отрезке [23;29] с точностью до 10-2 методом золотого сечения:
Для первой итерации алгоритма золотого сечения найдем две внутренние точки: левая m=26,2918, правая n=27,7082.
Значение в правой точке меньше, значит, левая внутренняя точка станет левой границей нового («стянутого») отрезка
. Правая граница отрезка не изменится. Правая внутренняя точка станет левой внутренней, для нее значение функции уже вычислено.
Остальные вычисления представлены в таблице:
a m n b F(m) F(n) b-a
24 26,2918 27,7082 30 -728,55103 -728,55386 6
26,2918 27,7082 28,58359 30 -728,55386 -726,5494 3,708204
26,2918 27,16718 27,7082 28,58359 -729,02638 -728,55386 2,291796
26,2918 26,83282 27,16718 27,7082 -729,02571 -729,02638 1,416408
26,83282 27,16718 27,37384 27,7082 -729,02638 -728,91499 0,875388
26,83282 27,03947 27,16718 27,37384 -729,05252 -729,02638 0,54102
26,83282 26,96053 27,03947 27,16718 -729,05236 -729,05252 0,334369
26,96053 27,03947 27,08825 27,16718 -729,05252 -729,04639 0,206651
26,96053 27,00932 27,03947 27,08825 -729,05393 -729,05252 0,127717
26,96053 26,99068 27,00932 27,03947 -729,05389 -729,05393 0,078934
26,99068 27,00932 27,02083 27,03947 -729,05393 -729,05361 0,048784
26,99068 27,0022 27,00932 27,02083 -729,054 -729,05393 0,03015
26,99068 26,9978 27,0022 27,00932 -729,05399 -729,054 0,018634
26,9978 27,0022 27,00492 27,00932 -729,054 -729,05398 0,011516
26,9978 27,00052 27,0022 27,00492 -729,054 -729,054 0,007117
Заданная точность достигнута: x=27,00±0,01
Оценим интервал неопределенности локального минимума или наименьшего значения, принадлежащего отрезку, если все расчеты проводятся с точностью до 10-8
θ=2∆minxϵ[a;b]f'(x*)
θ=210-86,002=8*10-5
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
