Одномерная безусловная минимизация
Дана функция Fx=x2-2N+5,001x+1x4+N+1x2+10 :
1. показать, что на отрезке [ N+2; N+8] находится только один локальный минимум (или одно наименьшее значение);
2. найти локальный минимум или наименьшее значение данной функции на отрезке [ N+2; N+8] с точностью до 10-2 методом золотого сечения;
3. оценить интервал неопределенности локального минимума или наименьшего значения, принадлежащего отрезку[ N+2; N+8] , если все расчеты проводятся с точностью до 10-8 ;
4. оценить относительную погрешность найденного локального минимума или наименьшего значения по отношению к относительной погрешности коэффициента при x в первой степени (т.е. - 2(N +5,001) , считая, что последняя равна 10%).
Fx=x2-22,002x+1x4+7x2+10
Ответ
x = 11.00; F(x) = -121.02
Решение
Покажем, что на отрезке [8;14] находится только один локальный минимум (или одно наименьшее значение).
Вычислим первую производную заданной функции:
F'x=2x-22,002-4x3+14xx4+7x2+102
Найдем ее значения на концах отрезка:
𝐹 ′ (10) = −6,00212
𝐹 ′ (16) = 5,99799
F''x=2-4x3+14x'x4+7x2+102-4x3+14xx4+7x2+102'x4+7x2+104
=2-12x2+14x4+7x2+10-24x3+14x2x4+7x2+103
Учитывая, что вторая производная F"(x) положительна на отрезке [8,14], приходим к выводу, что исходная функция будет иметь единственный минимум на заданном отрезке.
Найдем локальный минимум или наименьшее значение данной функции на отрезке [8;14] с точностью до 10-2 методом золотого сечения: Для первой итерации алгоритма золотого сечения найдем две внутренние точки: левая m= 8+1-0,618∙14-8= 10,292, правая n =10+0,618∙14-8=11,708
.
Значение в левой точке больше, значит, левая внутренняя точка станет левой границей нового («стянутого») отрезка. Правая граница отрезка не изменится. Правая внутренняя точка станет левой внутренней, для нее значение функции уже вычислено. Остальные вычисления представлены в таблице:
N a b b-a m n F(m) F(n)
1 8 14 6 10,292 11,708 -120,519 -120,522
2 10,292 14 3,708 11,708 12,58354 -120,522 -118,518
3 10,292 12,58354 2,291544 11,16737 11,708 -120,994 -120,522
4 10,292 11,708 1,416 10,83291 11,16737 -120,994 -120,994
5 10,83291 11,708 0,875088 11,16737 11,37372 -120,994 -120,883
6 10,83291 11,37372 0,540804 11,0395 11,16737 -121,02 -120,994
7 10,83291 11,16737 0,334458 10,96067 11,0395 -121,02 -121,02
8 10,96067 11,16737 0,206695 11,0395 11,08841 -121,02 -121,014
9 10,96067 11,08841 0,127737 11,00947 11,0395 -121,022 -121,02
10 10,96067 11,0395 0,078824 10,99079 11,00947 -121,022 -121,022
11 10,99079 11,0395 0,048713 11,00947 11,02089 -121,022 -121,022
12 10,99079 11,02089 0,030105 11,00229 11,00947 -121,022 -121,022
13 10,99079 11,00947 0,018685 10,99792 11,00229 -121,022 -121,022
14 10,99792 11,00947 0,011547 11,00229 11,00506 -121,022 -121,022
15 10,99792 11,00506 0,007136 11,00065 11,00229 -121,022 -121,022
-121.0219-(-121.0219)|≤0.01Находим x как середину интервала [a,b]:x=11.0051+10.99792=11.00
Ответ: x = 11.00; F(x) = -121.02
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
