Оценка числа обусловленности для задачи нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Оценка числа обусловленности для задачи нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений

Оценка числа обусловленности для задачи нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Оценка числа обусловленности для задачи нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений Коэффициенты основной матрицы системы точны, а правые части верны в написанных знаках. Не решая системы, априорно оценить относительную погрешность решения: N+1x1+N+2x2+N+3x3=2N+5N+1001+N1000x1+N+2,001x2+N+3,005x3=2N+5,006N+0,9999x1+N+1,9999x2+N+2,9002x3=2N+4,9001 22x1+23x2+24x3=4722,023x1+23,001x2+24,005x3=47,00621,9999x1+22,9999x2+23,9002x3=46,9001

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Выпишем прямую матрицу системы и найдем ее определитель:
A=22232422,02323,00124,00521,999922,999923,9002
∆А=22232422,02323,00124,00521,999922,999923,9002=22*23,00124,00522,999923,9002-23*22,02324,00521,999923,9002+24*22,00123,00521,99922,9002=0,048
Найдем обратную матрицу:
22 23 24 1 0 0
22,022 23,001 24,005 0 1 0
21,9999 22,9999 23,9002 0 0 1
1 1,045455 1,090909 0,045455 0 0
0 -0,022 -0,019 -1,001 1 0
0 4,55E-06 -0,09969 -1 0 1
1 0 0,188017 -47,5227 47,52066 0
0 1 0,863636 45,5 -45,4545 0
0 0 -0,09969 -1,0002 0,000207 1
1 0 0 -49,409 47,52105 1,88592
0 1 0 36,83545 -45,4528 8,662799
0 0 1 10,03264 -0,00207 -10,0306
A-1=-49,40947,521051,8859236,83545-45,45288,66279910,03264-0,00207-10,0306
Найдем нормы прямой и обратной матриц:
A=max22+22,023+21,9999;23+23,001+22,9999;24+24,005+23,9002=71,9052
A-1=max-49,409+36,83545+10,03264;47,52105+-45,4528+-0,00207;1,88592+8,662799+-10,0306=96,27712
Число обусловленности v=A*A-1=6922,825>10, значит задача плохо обусловлена.
Матрица-столбец правых частей
B=4747,00646,9001
Норма В=47+47,006+46,9001=140,9061
Правые части верны в написанных знаках, значит отклонение приближенной матрицы-столбца B от точного ее значения B* имеет вид:
B-B*=±1±0,001±0,0001
B-B*=±1+±0,001+±0,0001=1,0011
Относительная погрешность правых частей:
δB=B-B*B*100%=1,0011140,9061*100%=0,71%
Относительная погрешность решения:
δX=X-X*X*100%=v*δB=6922,825*0,71%=4918,48%

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу