Общая схема исследования функций. Найти область определения функции и область значений функции

1) Область определения и область значений функции.
Функция определена всюду, кроме точек, в которых знаменатель обращается в ноль: . Таким образом,
Область значений:
2) Четность/нечетность.
.
Таким образом, данная функция является четной, ее график симметричен относительно оси ординат.
3) Точки разрыва.
Рассмотрим точку . Найдем односторонние пределы:
Т.к. пределы бесконечны, то - точка разрыва второго рода (точка бесконечного разрыва).
4) Асимптоты
а) Вертикальные
Т.к. односторонние пределы бесконечны, то - вертикальная асимптота.
б) Наклонные асимптоты – это прямые вида , где , при условии, что данные пределы существуют и конечны.
Таким образом, - горизонтальная асимптота
5) Точки экстремума, интервалы возрастания/убывания.
Найдем первую производную:
при всех допустимых и не существует при .
Найдем интервалы знакопостоянства первой производной:
Таким образом,
точек экстремума нет;
- интервал убывания;
- интервал возрастания.
6) Точки перегиба, интервалы выпуклости/вогнутости
Найдем вторую производную:
при всех допустимых и не существует при .
Таким образом,
Точек перегиба нет;
интервалов вогнутости нет;
- интервалы выпуклости.
7) Пересечения с осями координат:
- с осью пересечений нет, т.к. ;
- с осью , т.е. .
8) Дополнительные точки:
,
9) Строим график функции:
2.
1) Область определения и область значений функции.
Функция определена на всей числовой прямой, кроме точек, где знаменатель обращается в ноль, т.е