Общая схема исследования функций и построения графиков

1) Найдем область определения функции. Функция представляет собой рациональную дробь, поэтому нужно исключить значения обнуляющие знаменатель.
fx=xx2-4
x2-4≠0
x2≠4
x≠±2
таким образом, область определения функции:
Dy:x∈-∞;-2∪-2;+2∪+2; +∞
2) Исследуем функцию на четность и нечетность:
f-x=-x-x2-4=-xx2-4=-fx
-fx=-x4x-13
Так как одно из условий f-x=-fx выполняется, то говорят, что функция не является нечетной.
3) Функция непериодическая.
4) Функция непрерывна на всей области определения, x1=-2 и x2=2 точки разрыва функции.
5) Найдем асимптоты графика функции.
а) Точки, в которых функция точно неопределенна, являются вертикальными асимптотами. Заданная функция имеет две вертикальные асимптоты:
x=-2 и x=2
б) Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x1→-∞ и x2→+∞
limx→±∞xx2-4=limx→±∞xx2x2x2-4x2=limx→±∞1x1-4x2=01-0=0
Следовательно, функция имеет одну горизонтальную асимптоту:
y=0
в) Найдем наклонные асимптоты y=kx+b, где
k=limx→±∞fxx=limx→±∞xx2-4x=limx→±∞xx∙x2-4=limx→±∞1x2-4=
=limx→±∞1x2x2x2-4x2=limx→±∞1x21-4∙1x2=01-4∙0=0
Так как угловой коэффициент равен нулю, то уравнение наклонной асимптоты отсутствует.
6) Найдем интервалы монотонности, точки локальных экстремумов и значения функции в этих точках.
fx=xx2-4
Для этого вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного:
f'=xx2-4'=x'x2-4-xx2-4'x2-42=1∙x2-4-x∙2xx2-42=
=x2-4-2x2x2-42=-x2-4x2-42=-x2+4x2-42
Найдем критические точки f'=0
-x2+4x2-42=0
-x2+4=0 и x2-42≠0
x2+4=0 и x2-4≠0
x2=-4 и x≠±2
x2=-4 - нет решений, значит, что критические точки I рода отсутствуют.
7) Найдем знак производной в каждом из интервалов и результаты занесем в таблицу:
x
-∞; -2
-2;+2
+2; +∞
f'
-
-
-
f
убывает убывает убывает
f'-3=--32+4-32-42=-9+49-42=-1325<0
f'0=-02+402-42=-0+40-42=-416=-14<0
f'3=-32+432-42=-9+49-42=-1325<0
8) Определим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Вычислим вторую производную:
f''=-x2-4x2-42'=-x2-4'x2-42--x2-4x2-42'x2-44=
=-2x∙x2-42+x2+4∙2x2-4∙x2-4'x2-44=
=-2x∙x2-42+2x2+4x2-4∙2xx2-44=-2x∙x2-4+4x∙x2+4x2-43=
=-2x3+8x+4x3+16xx2-43=2x3+24xx2-43=2x∙x2+12x2-43
Найдем критические точки, приравняв вторую производную к нулю