Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=91,3 – 88,7=2,6 мм.
Xmax = 91,3 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 88,7 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=60=7,75.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==2,67=0,37 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=88,7 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 88,7+0,37=89,07 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 89,07 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 89,44 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 89,44 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 89,81 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 89,81 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 90,18 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 90,18 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 90,55 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 90,55 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 90,92 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 90,92 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 91,29~91,3 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =88,885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 89,255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 89,625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 89,995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 90,365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 90,735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 90,11 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 88,7 89,07 88,885 2 0,033
2 89,07 89,44 89,255 3 0,050
3 89,44 89,81 89,625 15 0,250
4 89,81 90,18 89,995 18 0,300
5 90,18 90,55 90,365 14 0,233
6 90,55 90,92 90,735 6 0,100
7 90,92 91,3 91,11 2 0,033
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
1739265656590001504950396875X=90,026 мм
00X=90,026 мм
352044039433400
Рисунок 1.1
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=160×(88,885×2+89,255×3+89,625×15+89,995×18++90,365×14+90,735×6+91,11×2).
90,026 мм.
После подстановки 90,026 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*88,885-90,0262+…+2*91,11-90,0267260=13,791560.
Sx=0,479 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,38, что соответствует величине φ(z) = 0,023.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,61, что соответствует величине φ(z) = 0,109.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,84, что соответствует величине φ(z) = 0,280.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,06, что соответствует величине φ(z) = 0,398.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,71, что соответствует величине φ(z) = 0,310.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,48, что соответствует величине φ(z) = 0,133.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,26, что соответствует величине φ(z) = 0,031.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =1,089.
Для 2 интервала:
No2 = 5,059.
Для 3 интервала:
No3 = 12,993.
Для 4 интервала:
No4 =18,456.
Для 5 интервала:
No5 = 14,370.
Для 6 интервала:
No6 = 6,184.
Для 7 интервала:
No7 = 1,438.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,033 0,018
2 0,050 0,084
3 0,250 0,217
4 0,300 0,308
5 0,233 0,294
6 0,100 0,103
7 0,033 0,024
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 2 1,089 0,911 0,829921 0,762095
2 3 5,059 -2,059 4,239481 0,838008
3 15 12,993 2,007 4,028049 0,310017
4 18 18,456 -0,456 0,207936 0,011267
5 14 14,37 -0,37 0,1369 0,009527
6 6 6,184 -0,184 0,033856 0,005475
7 2 1,438 0,562 0,315844 0,219641
χ2=(mi-N​oi)2Noi=2,156.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,01;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=13,3.
В силу того, что выполняется условие
χ2=2,156<χq2=13,3,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3