Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=79,23-78,97=0,26 мм.
Xmax = 79,23 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 78,97 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями: n =N=52=7,21.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным. Принимаем n = 7. Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=78,97 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 78,97+0,037=79,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 79,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 79,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 79,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 79,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 79,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 79,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 79,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 79,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 79,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 79,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 79,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 79,229~79,230 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =78,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 79,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 79,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 79,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 79,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 79,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 79,211 (мм)
Определение количества размеров, попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 78,97 79,007 78,9885 2 0,039
2 79,007 79,044 79,0255 3 0,059
3 79,044 79,081 79,0625 10 0,196
4 79,081 79,118 79,0995 17 0,333
5 79,118 79,155 79,1365 13 0,255
6 79,155 79,192 79,1735 4 0,078
7 79,192 79,230 79,211 2 0,039
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
338709056959500
1333500470535X=79,1030 мм
00X=79,1030 мм
157734077787500Рисунок 1.1
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=151×(78,9885×2+79,0255×3+79,0625×10+79,0995×17++79,1365×13+79,1735×4+79,211×2).
79,103 мм.
После подстановки 79,103 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*78,9885-79,1032+…+2*79,211-79,103251=0,11864851.
Sx=0,0482 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,38, что соответствует величине φ(z) = 0,023.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,61, что соответствует величине φ(z) = 0,109.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,84, что соответствует величине φ(z) = 0,280.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,07, что соответствует величине φ(z) = 0,398.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,70, что соответствует величине φ(z) = 0,312.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,46, что соответствует величине φ(z) = 0,137.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,24, что соответствует величине φ(z) = 0,032.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,92.
Для 2 интервала:
No2 = 4,273.
Для 3 интервала:
No3 = 10,975.
Для 4 интервала:
No4 =15,58.
Для 5 интервала:
No5 = 12,225.
Для 6 интервала:
No6 = 5,38.
Для 7 интервала:
No7 = 1,271.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,039 0,018
2 0,059 0,084
3 0,196 0,215
4 0,333 0,305
5 0,255 0,24
6 0,078 0,105
7 0,039 0,025
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 2 0,92 1,08 1,1664 1,267826
2 3 4,273 -1,273 1,620529 0,379249
3 10 10,975 -0,975 0,950625 0,086617
4 17 15,58 1,42 2,0164 0,129422
5 13 12,225 0,775 0,600625 0,049131
6 4 5,38 -1,38 1,9044 0,353978
7 2 1,271 0,729 0,531441 0,418128
χ2=(mi-N​oi)2Noi=2,684.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=11,67.
В силу того, что выполняется условие
χ2=2,684<χq2=11,67,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3