Обработка результатов равноточных многократных измерений 1 1

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=34,230 -33,970=0,26 мм.
Xmax = 34,230 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 33,970 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=60=7,75.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=33,970 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 33,970+0,037=34,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 34,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 34,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 34,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 34,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 34,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 34,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 34,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 34,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 34,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 34,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 34,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 34,229~34,230 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =33,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 34,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 34,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 34,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 34,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 34,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 34,211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 33,97 34,007 33,9885 2 0,033
2 34,007 34,044 34,0255 4 0,067
3 34,044 34,081 34,0625 13 0,217
4 34,081 34,118 34,0995 18 0,300
5 34,118 34,155 34,1365 14 0,233
6 34,155 34,192 34,1735 6 0,100
7 34,192 34,23 34,211 3 0,050
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
3387090521970001504950501650X=34,104 мм
00X=34,104 мм
158686577089000
Рисунок 1.1
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=160×(33,9885×2+34,0255×4+34,0625×13+34,0995×18++34,1365×14+34,1735×6+34,211×3).
34,104 мм.
После подстановки 34,104 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*33,9885-34,1042+…+3*34,211-34,104260=0,152260.
Sx=0,05 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,29, что соответствует величине φ(z) = 0,029.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,55, что соответствует величине φ(z) = 0,120.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,81, что соответствует величине φ(z) = 0,287.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,07, что соответствует величине φ(z) = 0,398.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,67, что соответствует величине φ(z) = 0,319.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,41, что соответствует величине φ(z) = 0,148.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,16, что соответствует величине φ(z) = 0,039.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =1,287.
Для 2 интервала:
No2 = 5,328.
Для 3 интервала:
No3 = 12,759.
Для 4 интервала:
No4 =17,670.
Для 5 интервала:
No5 = 14,152.
Для 6 интервала:
No6 = 6,555.
Для 7 интервала:
No7 = 1,719.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,033 0,021
2 0,067 0,089
3 0,217 0,213
4 0,300 0,295
5 0,233 0,236
6 0,100 0,109
7 0,050 0,029
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 2 1,287 0,713 0,508369 0,395003
2 4 5,328 -1,328 1,763584 0,331003
3 13 12,759 0,241 0,058081 0,004552
4 18 17,67 0,33 0,1089 0,006163
5 14 14,152 -0,152 0,023104 0,001633
6 6 6,555 -0,555 0,308025 0,046991
7 3 1,719 1,281 1,640961 0,954602
χ2=(mi-N​oi)2Noi=1,74.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,1;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=7,78.
В силу того, что выполняется условие
χ2=1,74<χq2=7,78,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3