Обработка результатов косвенных многократных наблюдений
Определение параметра Z = f(х1, х2, х3) проводится с помощью прямых многократных измерений параметров х1, х2, х3, для каждого из которых известны основные метрологические характеристики применяемых средств измерений – пределы измерений (ПИ) и класс точности (КТ).
Требуется:
провести обработку результатов измерений;
найти суммарную погрешность косвенного измерения параметра Z измерения c доверительной вероятностью Р = 95 %.
Исходные данные приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1
Исходные данные
Измеряемый
параметр Пределы
измерений Класс
точности Вид
функции
х1 17,82; 17,82; 17,84; 17,85; 17,83 ±35 0,01 Z =
х2 29,3; 29,8; 29,6; 29,7; 29,5 -20…+35 0,2
х3 7,31; 7,33; 7,37; 7,34; 7,39 0…30 0,04/0,02
Решение
1. Определение оценки истинного значения искомого параметра.
При ограниченном числе измерений (n≠∞) оценкой истинного значения физической величины Z, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение Z, полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями x1, x2,… , xj,… , xm аргументов в соответствии с этой функцией:
Z=Fx1, x2,… , xj,… , xm.
Средние арифметические значения параметров xi определяем по формуле:
xi=1ni=1nxi;
x1=17,82+17,82+17,84+17,85+17,835=17,832;
x2=29,3+29,8+29,6+29,7+29,55=29,58;
x3=7,31+7,33+7,37+7,34+7,395=7,348.
Оценка истинного значения Z с учетом вида ее функции:
Z=5*17,832329,58*7,348=130,438.
2. Определение оценки среднеквадратического отклонения искомого параметра.
Оценку дисперсии результата косвенного измерения определяют по формуле:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2+2*i,j=1mrij*∂F∂xi*∂F∂xj*Sxi*Sxj,
где Sxj2 – оценка дисперсии результата измерения j-го аргумента; ∂F∂xj*Sxj – частные погрешности косвенного измерения; rij – коэффициенты корреляции
погрешностей всех испытаний j и i, кроме i = j.
В тех же случаях, когда исходные величины измеряют с помощью различных средств измерения в разное время, можно с полным правом ожидать, что результаты, если и будут коррелированны, то очень мало, и коэффициентом корреляции можно пренебречь, поэтому рассматриваемое выражение примет вид:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2.
Оценку среднеквадратического отклонения результата измерения j-го
аргумента определяем по формуле:
Sxj=1n*n-1i=1nxi-X2;
Sx1=15*5-1i=15x1i-17,8322=0,0058;
Sx2=15*5-1i=15x2i-29,582=0,0860;
Sx3=15*5-1i=15x3i-7,3482=0,0143.
Вычислим частные производные и частные погрешности косвенных измерений по каждому параметру xj:
∂Z∂x1*Sx1=15*x12x2*x3*Sx1=15*17,832229,58*7,348*0,0058=0,1273;
∂Z∂x2*Sx2=-5*x13x22*x3*Sx2=-5*17,832329,582*7,348*0,0860=-0,3792;
∂Z∂x3*Sx3=-5*x13x2*x32*Sx3=-5*17,832329,58*7,3482*0,0103=-0,1828.
Таким образом, оценка СКО косвенного измерения параметра Z составляет:
SZ=0,12732+-0,37922+-0,18282=0,4398.
Далее необходимо определить эффективное число степеней свободы по формуле:
kэф=j=1m∂F∂xj2*Sxj22-2*j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1,
где nj - число наблюдений, выполненное при измерении j-го аргумента.
Для удобства расчетов составляем таблицу 3.2.
Таблица 3.2
Параметр ∂Z∂xj
∂Z∂xj2
∂Z∂xj4
Sxj
Sxj2
Sxj4
x1
21,944 481,5 231880 0,0058 0,000034 1,13*10-9
x2
4,41 19,448 378,2 0,086 0,007396 0,000055
x3
17,751 315,1 99287 0,0143 0,000204 4,18*10-8
kэф=0,0504-2*0,00350,0035=12,4.
При таком числе степеней свободы для доверительной вероятности Р = 95 % по таблице коэффициентов Стьюдента находим t 0,95= 2,171
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
