Непрерывная случайная величина Случайная величина ξ имеет плотность распределения fξx=0

Из условия нормировки получаем:
1=-∞∞fxdx=-∞-π20 dx+-π2π2acos2xdx+π2∞0 dx=0+a∙-π2π21+cos2x2dx+0=a2∙-π2π2dx+-π2π2cos2xd2x2=a2∙x-π2π2+12∙sin2x-π2π2=a2∙π2--π2+12∙sinπ-sin-π=a2∙π+sinπ=a∙π2
Откуда a=2π.
Получаем функцию плотности:
fξx=0, при  x∉-π2;π2;2π∙cos2x,при  x∈-π2;π2.
Найдем функцию распределения Fξ(x):
при x≤-π2:
Fξx=-∞xf(x)dx=-∞x0dx=0
при -π2<x≤π2:
Fξx=-∞xf(x)dx=-∞-π20dx+-π2x2π∙cos2xdx=2π∙-π2x1+cos2x2dx=0+1π∙x+sin2x2-π2x=1π∙x+sin2x2--π2+sin-π2=1π∙x+sin2x2+12
при x>π2:
Fξx=-∞xf(x)dx=-∞-π20dx+-π2π22π∙cos2xdx+π2x0dx=0+2π∙-π2π21+cos2x2dx+0=1π∙x+sin2x2-π2π2=1π∙π2+sinπ2--π2+sin-π2=1
Получаем функцию:
Fξx=0, x≤-π2; 1π∙x+sin2x2+12,-π2<x≤π2;1, x>π2 .
Найдем математическое ожидание и дисперсию:
Mξ=-∞∞x∙fxdx=-∞-π2x∙0 dx+-π2π2x∙2π∙cos2xdx+π2∞x∙0 dx=0+2π∙-π2π2x+xcos2x2dx+0=1π∙-π2π2xdx+-π2π2xcos2xdx=1π∙x22-π2π2+x2∙sin2x-π2π2--π2π2sin2x2dx=12π∙π22--π22+π2∙sinπ--π2∙sin-π-12∙sin2x-π2π2=12π∙0+0-12∙sinπ-sin-π=0
Dξ=-∞∞x2∙fxdx-Mξ2=-∞-π2x22∙0 dx+-π2π2x2∙2π∙cos2xdx+π2∞x2∙0 dx-02=0+2π∙-π2π2x2+x2cos2x2dx+0=1π∙-π2π2x2dx+-π2π2x2cos2xdx=1π∙x33-π2π2+x22∙sin2x-π2π2--π2π22x∙sin2x2dx=1π∙13∙π23--π23+12∙π22∙sinπ-12∙-π22∙sin-π--π2π2x∙sin2xdx=1π∙π312+0--π2π2x∙sin2xdx=1π∙π312--x2∙cos2x-π2π2--π2π2-cos2x2dx=12π∙π36+π2∙cosπ--π2∙cos(-π)--π2π2cos2xd2x2=12π∙π36+π∙cosπ-12∙sin2x-π2π2=12π∙π36-π-12∙sinπ-sin-π=12π∙π36-π-12∙0=π212-12
Вероятность того, что случайная величина ξ примет значение, заключенное в интервале (0;π4):
p=P0<x<π4=0π4fxdx=0π42π∙cos2xdx=2π∙0π41+cos2x2dx=1π∙0π4dx+0π4cos2xd2x2=1π∙x0π4+12∙sin2x0π4=1π∙π4-0+12∙sinπ2-sin0=14+12π
Вероятность того, что в трех испытаниях случайная величина ξ ровно два раза примет значение, заключенное в интервале (0;π4):
P32=C32∙p2∙q3-2=3∙14+12π2∙1-14-12π≈0,297
Таким образом, Вероятность того, что в трех испытаниях случайная величина ξ ровно два раза примет значение, заключенное в интервале (0;π4), составляет примерно 29,7%.