Необходимо найти возможную экстремаль. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Необходимо найти возможную экстремаль

Необходимо найти возможную экстремаль .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Необходимо найти возможную экстремаль {yx,z(x)}, решив уравнение Эйлера, а также найти соответствующее ей значение функционала Vyx,z(x). Vyx,zx=01y'2x+10z'2x+5zx+3y2xdx, y0=3,z0=0,y1=7,z1=1

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Имеем:
Fx,y,y',z,z'=y'2x+10z'2x+5zx+3y2x
∂F∂y=6y;∂F∂y'=2y'
∂F∂z=5;∂F∂z'=20z'
Тогда:
ddx∂F∂y'=2y''
ddx∂F∂z'=20z''
Записываем систему уравнений Эйлера.
∂F∂y-ddx∂F∂y'=0∂F∂z-ddx∂F∂z'=0
Получаем:
6y-2y''=05-20z''=0
Рассмотрим первое уравнение:
6y-2y''=0
Или:
y''-3y=0
Его характеристическое уравнение:
k2-3=0
Дает:
y=c1e3x+c2e-3x
Второе уравнение:
5-20z''=0
z''=14
Дважды интегрируя:
z=x28+c3x+c4
Получаем общее решение:
y=c1e3x+c2e-3xz=x28+c3x+c4
И из граничных условий y0=3,z0=0,y1=7,z1=1 получаем:
3=c1+c20=c47=c1e3+c2e-31=18+c3+c4 c1=7-3e-3e3-e-3c2=3e3-7e3-e-3c3=78c4=0
Получили допустимую экстремаль:
y=7-3e-3e3x+3e3-7e-3xe3-e-3z=x2+7x8
А соответствующее значение функционала с учетом того, что:
y'=73-33e-3e3x+73-33e3e-3xe3-e-3;z'=2x+78
Будет равно:
Vyx,zx=01y'2x+10z'2x+5zx+3y2xdx=
=0173-33e-3e3x+73-33e3e-3xe3-e-32+102x+782+5∙x2+7x8+37-3e-3e3x+3e3-7e-3xe3-e-32dx
=01196-168e-3+36e-23e23x+196-168e3+36e23e-23x+232-84e3-84e-3e3-e-32+5x24+35x4+24532dx
=196-168e-3+36e-2323e23x-196-168e3+36e2323e-23x+232-84e3-84e-3xe3-e-32+5x312+35x28+245x3201=583+583e23-843e3e23-1+119596

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу