Необходимо найти возможную экстремаль yx

Записываем функцию Лагранжа:
Fx,y,y',λ=y'2+λy2
Имеем:
∂F∂y=2λy
∂F∂y'=2y'
Тогда:
ddx∂F∂y'=2y''
Записываем уравнение Эйлера:
∂F∂y-ddx∂F∂y'=0
В нашем случае:
2λy-2y''=0
Или:
y''-λy=0
По характеристическому уравнению:
k2-λ=0
Рассматриваем возможные варианты:
1) λ=0. В этом случае
y=c1x+c2
И из граничных условий y0=0,yl=0 получаем:
0=c20=c1l+c2 c1=0c2=0
Получили y≡0, что не отвечает изопериметрическому условию.
2) λ>0, тогда:
y=c1eλx+c2e-λx
И из граничных условий y0=0,yl=0 получаем:
0=c1+c20=c1elλ+c2e-lλ c1=0c2=0
Таким образом, λ>0 также не отвечает условию.
3) λ<0, тогда:
y=c1cos-λx+c2sin-λx
И из граничных условий y0=0,yl=0 получаем:
0=c10=c1cosl-λ+c2sinl-λ c1=0l-λ=πn
Т.е.:
λ=-π2n2l2,n=1,2,…; y=c2sinπnlx
Тогда:
0ly2xdx=c220lsin2πnlxdx=c2220l1-cos2πnlxdx=
=c222x-l2πnsin2πnlx0l=sin2πn=0=lc222
Из уравнения связи получаем:
lc222=l2 c2=±1
Т.е