Необходимо найти возможную экстремаль yx

Записываем функцию Лагранжа:
Fx,y,y',λ=y'2+λy
Имеем:
∂F∂y=λ
∂F∂y'=2y'
Тогда:
ddx∂F∂y'=2y''
Записываем уравнение Эйлера:
∂F∂y-ddx∂F∂y'=0
В нашем случае:
λ-2y''=0
Или:
y''=λ2
Дважды интегрируем и получаем:
y=λx24+c1x+c2
Подставляя в уравнение связи:
02λx24+c1x+c2dx=λx312+c1x22+c2x02=2λ3+2c1+2c2
Определяем неизвестные из граничных условий и уравнения связи:
y0=4,y2=5,02yxdx=6
Имеем:
4=c25=λ+2c1+c26=2λ3+2c1+2c2 c1=-4c2=4λ=9
Получили допустимую экстремаль:
y=9x24-4x+4
А соответствующее значение функционала y'=9x2-4:
Vyx=02y'2xdx=029x2-42dx=2279x2-4302=14