Найти стационарное распределение температуры в прямоугольной пластине размером 2×3

Имеем следующую задачу:
∆u=0,0<x<2,0<y<3
u0;y=0;u2,y=0
ux;0=2x+1;ux,3=0
Оператор Лапласа в прямоугольных координатах имеет вид:
∆u=∂2ux,y∂x2+∂2ux,y∂y2
Т.е. уравнение можно переписать в виде:
∂2ux,y∂x2+∂2ux,y∂y2=0
Решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,y=X(x)Y(y)
При этом функция X(x) зависит только от x, а Y(y) – только от y.
В этом случае:
∂2ux,y∂x2=X''(x)Y(y);∂2ux,y∂y2=X(x)Y''(y)
Подставляем в уравнение:
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0
Разделяем переменные:
-Y''(y)Yy=X''(x)Xx
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа (обозначим -λ2):
-Y''yYy=X''xXx=-λ2
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
Y''y-λ2Yy=0X''x+λ2Xx=0
Уравнения Y''y+λ2Yy=0; X''x-λ2Xx=0 есть обыкновенные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами . Его общее решение имеет вид:
а) λ2=0 Yy=c1y+c2;Xx=c3x+c4;
Получаем:
ux,y=(c1y+c2)(c3x+c4)
Пробуем удовлетворить начальным условиям u0;y=0;u2,y=0:
c1y+c2c4=0c1y+c2c3+c4=0
Поскольку ищем ненулевые решения (Y(y)≠0), то из первого уравнения:
c4=0
Подставляя во второе (опять же ищем Y(y)≠0), имеем только нулевые решения, а поскольку это не удовлетворяет условиям, то λ2=0 отбрасываем.
б) λ2<0 Xx=c1eλx+c2e-λx;Yy=c3cosλy+c4sinλy;
Получаем:
ux,y=(c1eλx+c2e-λx)(c3cosλy+c4sinλy)
Пробуем удовлетворить начальным условиям u0;y=0;u2,y=0:
c1+c2c3cosλy+c4sinλy=0(c1e2λ+c2e-2λ)(c3cosλy+c4sinλy)=0
Поскольку ищем ненулевые решения (Y(y)≠0), то из первого уравнения:
c2=-c1
Подставляем во второе (опять же ищем Y(y)≠0):
c1e2λ-c1e-2λ=0 c1e2λ-e-2λ=0
Поскольку c1≠0 (иначе имеем нулевое решение), то e2λ-e-2λ=0, что возможно только при λ=0, поэтомуλ2<0 отбрасываем.
в) λ2>0 Xx=c1cosλx+c2sinλx;Yy=c3eλy+c4e-λy.
Получаем:
ux,y=(c1cosλx+c2sinλx)(c3eλy+c4e-λy)
Пробуем удовлетворить начальным условиям u0;y=0;u2,y=0:
c1c3eλy+c4e-λy=0(c1cos2λ+c2sin2λ)c3eλy+c4e-λy=0
Поскольку ищем ненулевые решения (Y(y)≠0), то из первого уравнения:
c1=0
Подставляем во второе (опять же ищем Y(y)≠0):
c2sin2λ=0 2λ=πn λ=πn2
Т.е