Найти собственные значения и собственные векторы операторов A и B. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти собственные значения и собственные векторы операторов A и B

Найти собственные значения и собственные векторы операторов A и B .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти собственные значения и собственные векторы операторов A и B. Привести матрицу каждого оператора к диагональному виду, если это возможно. В последнем случае записать матрицу перехода. A=418-12-1-1006-5, B=35-6914-17914-17

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Для вычисления собственных значений матрицы составим характеристический многочлен:
A-λE=0
4-λ18-12-1-1-λ006-5-λ=0
4-λ1+λ5+λ+72-185+λ=0
4-λ1+λ5+λ-181+λ=0
1+λ20-λ-λ2-18=0
1+λλ2+λ-2=0
λ1=-1 λ2=1 λ3=-2
Составим систему уравнений для нахождения координат собственных векторов:
A-λEx=0
4-λx1+18x2-12x3=0-x1-1+λx2=06x2-5+λx3=0
λ1=-1
5x1+18x2-12x3=0-x1=06x2-4x3=0
x1=0x2=23x3 a1(0;2;3)
λ2=1
3x1+18x2-12x3=0-x1-2x2=06x2-6x3=0 x1=-2x2x3=x2 a2(-2;1;1)
λ3=-2
6x1+18x2-12x3=0-x1+x2=06x2-3x3=0 x1=x2x3=2x2 a3(1;1;2)
В базисе из собственных векторов матрица оператора имеет диагональный вид:
T=0-21211312
A'=-10001000-2
Для вычисления собственных значений матрицы составим характеристический многочлен:
A-λE=0
3-λ5-6914-λ-17914-17-λ=0
3-λ14-λ-17-λ-765-756+5414-λ-45-17-λ+2383-λ=0
42-17λ+λ2-17-λ+714-247λ=0
-714+289λ-17λ2-42λ+17λ2-λ3+714-247λ=0
λ3=0
λ1,2,3=0
Составим систему уравнений для нахождения координат собственных векторов:
A-λEx=0
3-λx1+5x2-6x3=09x1+14-λx2-17x3=09x1+14x2-17+λx3=0
λ1,2,3=0
3x1+5x2-6x3=09x1+14x2-17x3=09x1+14x2-17x3=0
35-6914-17914-17~Умножим первую строку на -3 и сложим со второйУмножим первую строку на -3 и сложим с третьей
35-60-110-11~35-60-11
x1=13x3x2=x3
x3=3 => x2=3 x1=1 a1(1;3;3)
Получили один собственный вектор для кратного собственного значения, значит матрица не приводится к диагональному виду.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу