Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Найдем собственные значения матрицы оператора:
φ=53-2-333152
5-λ3-2-33-λ3152-λ=0
5-λ3-λ2-λ+9+30+23-λ+92-λ-155-λ=0
5-λ3-λ2-λ+4λ-12=0
5-λ3-λ2-λ-4(3-λ)=0
3-λ5-λ2-λ-4=0
3-λλ2-7λ+6=0
3-λλ-1λ-6=0
λ1=3 λ2=1 λ3=6
Найдем собственные векторы:
λ1=3
23-2-30315-1X=0
C помощью элементарных преобразований над строками матрицы преобразуем матрицу системы в трапециевидную:
23-2-30315-1~Поменяем местами первую и третью строки
15-1-30323-2~Умножим первую строку на 3 и сложим со второйУмножим первую строку на -2 и сложим с третьей
15-101500-70~Умножим вторую строку на 715 и сложим с третьей
15-10150000~15-10150
Ранг матрицы равен 2.
x1+5x2-x3=015x2=0
Пусть x3 - свободная переменная, x1,x2 - базисные. Выразим базисные переменные через свободную
x1=x3x2=0
Положив x3=1 получим собственный вектор:
f1=(1,0,1)
λ2=1
43-2-323151X=0
C помощью элементарных преобразований над строками матрицы преобразуем матрицу системы в трапециевидную:
43-2-323151~Поменяем местами первую и третью строки
151-32343-2~Умножим первую строку на 3 и сложим со второйУмножим первую строку на -4 и сложим с третьей
15101760-17-6~Сложим вторую и третью строки
1510176000~1510176
Ранг матрицы равен 2.
x1+5x2+x3=017x2+6x3=0
Пусть x3 - свободная переменная, x1,x2 - базисные . Выразим базисные переменные через свободную
x1=1317x3x2=-617x3
Положив x3=1 получим собственный вектор:
f2=1317,-617,1
λ3=6
-13-2-3-3315-4X=0
C помощью элементарных преобразований над строками матрицы преобразуем матрицу системы в трапециевидную:
-13-2-3-3315-4~Умножим первую строку на -3 и сложим со второйСложим первую и третью строки
-13-20-12908-6~Умножим вторую строку на 23 и сложим с третьей
-13-20-129000~-13-20-129
Ранг матрицы равен 2.
-x1+3x2-2x3=0-12x2+9x3=0
Пусть x3 - свободная переменная, x1,x2 - базисные. Выразим базисные переменные через свободную
x1=14x3x2=34x3
Положив x3=1 получим собственный вектор:
f3=14,34,1
Получили набор собственных векторов и собственных значений:
λ1=3 f1=(1,0,1)
λ2=1 f2=1317,-617,1
λ3=6 f3=14,34,1
Собственные векторы образуют базис пространства R3