Найти решение задачи Коши методом Даламбера. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти решение задачи Коши методом Даламбера

Найти решение задачи Коши методом Даламбера .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти решение задачи Коши методом Даламбера. Решение представить в аналитическом и графическом виде ∂2u∂x2=1ν2∂2u∂t2, -π2<x<π2, t≥0, (1) ut=0=φx=cosx, ∂u∂tt=0=ψx=0. (2) Замечание Вообще задача Коши для волнового уравнения задается на всей прямой -∞<x<+∞ (нет границ по пространству). В условии ограничение по x, наверное, написано для того чтобы указать в каком диапазоне делать рисунки.

Ответ

ux,t=cosxcosνt. Замечание. Скорее всего в задаче предполагалось сразу использовать формулу Даламбера. Если же надо продемонстрировать метод характеристик, т.е. явно получить формулу Даламбера, то делается это так. В дифференциальном уравнении (1) сделаем замену ux,t=wξ,η, где характеристические координаты ξ=x+νtη=x-νt В этих координатах гиперболическое уравнение (1) имеет второй канонический вид wξη=0 Общее решение уравнения имеет вид wξ,η=Fξ+Gη, где Fξ, Gη – произвольные дифференцируемые функции. Тогда решение исходного дифференциального уравнения в переменных x,t имеет вид ux,t=Fx+νt+Gx-νt, ∂u∂tx,t=νF'x+νt-νG'x-νt. Функции F и G найдем из начальных условий (2) ut=0=Fx+Gx=cosx, ∂u∂tt=0=νF'x-νG'x=0. Fx+Gx=cosxF'x-G'x=0 Дифференцируем первое уравнение F'(x)+G'(x)=-sinx, и складываем его со вторым, получим 2F'x=-sinx, ⟹ F'x=-12sinx, ⟹ Fx=12cosx+C, Gx=cosx-Fx=12cosx-C. Таким образом, ux,t=12cosx+νt+C+12cosx-νt-C=cosxcosνt.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Воспользуемся формулой Даламбера для решения задачи Коши для волнового уравнения
ux,t=12φx+νt+φx-νt+12ax-νtx+νtψsds.
В нашем случае (ψx=0) решение имеет вид
ux,t=12φx+νt+φx-νt=12cosx+νt+cosx-νt=cosxcosνt.
Решение периодическое по времени, с периодом 2π/ν. На рисунке представлена форма решения в моменты времени t=0, π4ν, π2ν, 3π4ν, πν, 5π4ν, 3π2ν, 7π4ν .
Ответ: ux,t=cosxcosνt.
Замечание. Скорее всего в задаче предполагалось сразу использовать формулу Даламбера. Если же надо продемонстрировать метод характеристик, т.е. явно получить формулу Даламбера, то делается это так.
В дифференциальном уравнении (1) сделаем замену ux,t=wξ,η, где характеристические координаты
ξ=x+νtη=x-νt
В этих координатах гиперболическое уравнение (1) имеет второй канонический вид
wξη=0
Общее решение уравнения имеет вид
wξ,η=Fξ+Gη,
где Fξ, Gη – произвольные дифференцируемые функции.
Тогда решение исходного дифференциального уравнения в переменных x,t имеет вид
ux,t=Fx+νt+Gx-νt,
∂u∂tx,t=νF'x+νt-νG'x-νt.
Функции F и G найдем из начальных условий (2)
ut=0=Fx+Gx=cosx,
∂u∂tt=0=νF'x-νG'x=0.
Fx+Gx=cosxF'x-G'x=0
Дифференцируем первое уравнение
F'(x)+G'(x)=-sinx,
и складываем его со вторым, получим
2F'x=-sinx, ⟹ F'x=-12sinx, ⟹ Fx=12cosx+C,
Gx=cosx-Fx=12cosx-C.
Таким образом,
ux,t=12cosx+νt+C+12cosx-νt-C=cosxcosνt.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

Найти решение задачи Коши методом Даламбера

Условие

Ответ

Решение

Пpoaнaлuзupoвaть дuнaмuкy uзмeнeнuя экoнoмuчecкux показателей

Используя метод наименьших квадратов по заданной таблице составить линейную функцию

Докажите что справедливы следующие логические следование