Логотип Автор24реферат
Задать вопрос
%
уникальность
не проверялась
Решение задач на тему:

Найти решение задачи Коши методом Даламбера

уникальность
не проверялась
Аа
1724 символов
Категория
Высшая математика
Решение задач
Найти решение задачи Коши методом Даламбера .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти решение задачи Коши методом Даламбера. Решение представить в аналитическом и графическом виде ∂2u∂x2=1ν2∂2u∂t2, -π2<x<π2, t≥0, (1) ut=0=φx=cosx, ∂u∂tt=0=ψx=0. (2) Замечание Вообще задача Коши для волнового уравнения задается на всей прямой -∞<x<+∞ (нет границ по пространству). В условии ограничение по x, наверное, написано для того чтобы указать в каком диапазоне делать рисунки.

Ответ

ux,t=cosxcosνt. Замечание. Скорее всего в задаче предполагалось сразу использовать формулу Даламбера. Если же надо продемонстрировать метод характеристик, т.е. явно получить формулу Даламбера, то делается это так. В дифференциальном уравнении (1) сделаем замену ux,t=wξ,η, где характеристические координаты ξ=x+νtη=x-νt В этих координатах гиперболическое уравнение (1) имеет второй канонический вид wξη=0 Общее решение уравнения имеет вид wξ,η=Fξ+Gη, где Fξ, Gη – произвольные дифференцируемые функции. Тогда решение исходного дифференциального уравнения в переменных x,t имеет вид ux,t=Fx+νt+Gx-νt, ∂u∂tx,t=νF'x+νt-νG'x-νt. Функции F и G найдем из начальных условий (2) ut=0=Fx+Gx=cosx, ∂u∂tt=0=νF'x-νG'x=0. Fx+Gx=cosxF'x-G'x=0 Дифференцируем первое уравнение F'(x)+G'(x)=-sinx, и складываем его со вторым, получим 2F'x=-sinx, ⟹ F'x=-12sinx, ⟹ Fx=12cosx+C, Gx=cosx-Fx=12cosx-C. Таким образом, ux,t=12cosx+νt+C+12cosx-νt-C=cosxcosνt.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть
Воспользуемся формулой Даламбера для решения задачи Коши для волнового уравнения
ux,t=12φx+νt+φx-νt+12ax-νtx+νtψsds.
В нашем случае (ψx=0) решение имеет вид
ux,t=12φx+νt+φx-νt=12cosx+νt+cosx-νt=cosxcosνt.
Решение периодическое по времени, с периодом 2π/ν. На рисунке представлена форма решения в моменты времени t=0, π4ν, π2ν, 3π4ν, πν, 5π4ν, 3π2ν, 7π4ν .
Ответ: ux,t=cosxcosνt.
Замечание. Скорее всего в задаче предполагалось сразу использовать формулу Даламбера. Если же надо продемонстрировать метод характеристик, т.е. явно получить формулу Даламбера, то делается это так.
В дифференциальном уравнении (1) сделаем замену ux,t=wξ,η, где характеристические координаты
ξ=x+νtη=x-νt
В этих координатах гиперболическое уравнение (1) имеет второй канонический вид
wξη=0
Общее решение уравнения имеет вид
wξ,η=Fξ+Gη,
где Fξ, Gη – произвольные дифференцируемые функции.
Тогда решение исходного дифференциального уравнения в переменных x,t имеет вид
ux,t=Fx+νt+Gx-νt,
∂u∂tx,t=νF'x+νt-νG'x-νt.
Функции F и G найдем из начальных условий (2)
ut=0=Fx+Gx=cosx,
∂u∂tt=0=νF'x-νG'x=0.
Fx+Gx=cosxF'x-G'x=0
Дифференцируем первое уравнение
F'(x)+G'(x)=-sinx,
и складываем его со вторым, получим
2F'x=-sinx, ⟹ F'x=-12sinx, ⟹ Fx=12cosx+C,
Gx=cosx-Fx=12cosx-C.
Таким образом,
ux,t=12cosx+νt+C+12cosx-νt-C=cosxcosνt.
50% задачи недоступно для прочтения
Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение
Получить задачу
Больше решений задач по высшей математике:

Одновременно бросаются две игральные кости

283 символов
Высшая математика
Решение задач

Вычислить определенный интеграл 0π/22x+3sin2xdx

285 символов
Высшая математика
Решение задач

Вычислить криволинейный интеграл L∫(Х+У) DX- (X-Y) DY

439 символов
Высшая математика
Решение задач
Все Решенные задачи по высшей математике
Закажи решение задач
Оставляя свои контактные данные и нажимая «Найти работу», я соглашаюсь пройти процедуру регистрации на Платформе, принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности в целях заключения соглашения.

Наш проект является банком работ по всем школьным и студенческим предметам. Если вы не хотите тратить время на написание работ по ненужным предметам или ищете шаблон для своей работы — он есть у нас.