Найти решение системы методом простых итераций (точность счета ε=0,01)

А) найти решение системы методом простых итераций (точность счета ε=0,01);
Проверим условие сходимости для заданной системы:
x1-x2+x3-4x4=-5 → 1<-1+2+-4
2x1+x2-5x3+x4=6 → 1<2+-5+1
8x1-x2-x3+2x4=3 → -1<8+-1+2
x1+6x2-2x3-2x4=0 → -2<1+6+-2
Условие сходимости не выполнено ни для одного из уравнений системы, следовательно, необходимо преобразовать исходную систему к виду, при котором диагональные коэффициенты преобладают.
8x1-x2-x3+2x4=3
x1+6x2-2x3-2x4=0
2x1+x2-5x3+x4=6
x1-x2+x3-4x4=-5
Проверим условие сходимости итерационных методов для полученной системы:
8x1-x2-x3+2x4=3 → 8>-1+-1+2
x1+6x2-2x3-2x4=0 → 6>1+-2+-2
2x1+x2-5x3+x4=6 → -5>2+1+1
x1-x2+x3-4x4=-5 → -4>1+-1+1
Условие сходимости выполнено.
Приведем систему к итерационному виду:
x1=18x2+18x3-14x4+38
x2=-16x1+13x3+13x4
x3=25x1+15x2+15x4-65
x4=14x1-14x2+14x3+54
Выберем в качестве начального приближения следующие значения переменных:
x10=38
x20=0
x30=-65
x40=54
Запишем формулы для вычисления первого приближения решения:
x11=18x20+18x30-14x40+38
x21=-16x10+13x30+13x40
x31=25x10+15x20+15x40-65
x41=14x10-14x20+14x30+54
Вычислим первое приближение:
x11=18*0+18*-1,2-14*1,25+38=-0,0875
x21=-16*0,375+13-1,2+13*1,25=-0,04583
x31=25*0,375+15*0+15*1,25-65=-0,8
x41=14*0,375-14*0+14*-1,2+54=1,04375
Вычислим второе приближение:
x12=0,008333
x22=0,095833
x32=-1,03542
x42=1,039483
Вычислим ∆X=maxixi1-xi2
x11-x12=0,095833
x21-x22=0,141667
x31-x32=0,235417
x41-x42=0,004167
∆X=maxixi1-xi2=0,235417>0,01
продолжаем вычисления.
Последующие итерации в таблице:
№ x1
x2
x3
x4
∆X
0 0,375 0 -1,2 1,25
1 -0,0875 -0,04583 -0,8 1,04375 0,4625
2 0,008333 0,095833 -1,03542 1,039583 0,235417
3 -0,00234 0 -0,96958 0,969271 0,095833
4 0,011484 0,000286 -1,00708 1,007018 0,037747
5 -0,0026 -0,00194 -0,99395 1,001029 0,014089
6 0,000258 0,002795 -1,00122 1,001347 0,007278
Запишем полученное решение:
x1*=0
x2*=0
x3*=-1
x4*=1
б) найти решение системы методом Зейделя (точность счета ε=0,01);
Запишем формулы для вычисления первого приближения решения:
x11=18x20+18x30-14x40+38
x21=-16x11+13x30+13x40
x31=25x11+15x21+15x40-65
x41=14x11-14x21+14x31+54
Вычислим первое приближение:
x11=18*0+18*-1,2-14*1,25+38=-0,0875
x21=-16*(-0,0875)+13-1,2+13*1,25=0,03125
x31=25*-0,0875+15*0,03125+15*1,25-65=-0,97875
x41=14*(-0,0875)-14*0,03125+14*-0,97875+54=0,975625
Вычислим ∆X=maxixi0-xi1
x10-x11=0,4625
x20-x21=0,03125
x30-x31=0,22125
x40-x41=0,274375
∆X=maxixi0-xi1=0,4625>0,01
продолжаем вычисления.
Последующие итерации в таблице:
№ x1
x2
x3
x4
∆X
0 0,375 0 -1,2 1,25
1 -0,0875 0,03125 -0,97875 0,975625 0,4625
2 0,012656 -0,00315 -1,00044 1,003841 0,100156
3 -0,00141 0,001368 -0,99952 0,999425 0,014066
4 0,000374 -9,5E-05 -0,99998 1,000121 0,001784
5 -4E-05 5,24E-05 -0,99998 0,999982 0,000415
Запишем полученное решение:
x1*=0
x2*=0
x3*=-1
x4*=1