Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке

Для решения смешанной задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T't=X''x∙Tt.
Разделим равенство на Xx∙T(t)
T'(t)T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
X0⋅Tt=0, X2⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X2=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X2=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X2=C2 sin2λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin2λ=0,
2λn=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πn22, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xnx=sinπnx2, n=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn'(t)+πn22Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ane-πn22t.
Решение ux,t исходной задачи (1) − (3) будем искать в виде ряда по собственным функциям
ux,t=n=1∞TntXn(x)=n=1∞Ane-πn22tsinπnx2.
Коэффициенты An этого ряда найдем из начального условия (2)
ux,0=n=1∞Ansinπnx2=φx=x2, 0≤x≤1,2-x, 1<x≤2
Коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции φx в ряд Фурье на отрезке 0;2 по собственным функциям sinπnx2n=1∞
An =2202φxsinπnx2dx=01x2sinπnx2dx+122-xsinπnx2dx=
=01x2-2πndcosπnx2+122-x-2πndcosπnx2=
=-2πnx2cosπnx201-01cosπnx22xdx+2-xcosπnx212-12cosπnx2-1dx=
=-2πncosπn2-201x2πndsinπnx2-cosπn2+2πnsinπnx212=
=-2πn-4πnxsinπnx201-01sinπnx2dx-2πnsinπn2=
=-2πn-4πnsinπn2+2πncosπnx201-2πnsinπn2=
=4π2n23sinπn2+4πncosπn2-1=4π3n33πnsinπn2+4cosπn2-4.
Таким образом, решение исходной смешанной задачи (1) − (3) имеет вид
ux,t=n=1∞4π3n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-πn22tsinπnx2.
Ответ:
ux,t=4π3n=1∞1n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-πn22tsinπnx2.