Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке ut=uxx, 0<x<2, t>0, (1) ux,0=φx=x2, 0≤x≤1, 2-x, 1<x≤2, (2) u0,t=u2,t=0. (3)

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

ux,t=4π3n=1∞1n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-πn22tsinπnx2.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Для решения смешанной задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T't=X''x∙Tt.
Разделим равенство на Xx∙T(t)
T'(t)T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
X0⋅Tt=0, X2⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X2=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X2=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X2=C2 sin2λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin2λ=0,
2λn=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πn22, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xnx=sinπnx2, n=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn'(t)+πn22Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ane-πn22t.
Решение ux,t исходной задачи (1) − (3) будем искать в виде ряда по собственным функциям
ux,t=n=1∞TntXn(x)=n=1∞Ane-πn22tsinπnx2.
Коэффициенты An этого ряда найдем из начального условия (2)
ux,0=n=1∞Ansinπnx2=φx=x2, 0≤x≤1,2-x, 1<x≤2
Коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции φx в ряд Фурье на отрезке 0;2 по собственным функциям sinπnx2n=1∞
An =2202φxsinπnx2dx=01x2sinπnx2dx+122-xsinπnx2dx=
=01x2-2πndcosπnx2+122-x-2πndcosπnx2=
=-2πnx2cosπnx201-01cosπnx22xdx+2-xcosπnx212-12cosπnx2-1dx=
=-2πncosπn2-201x2πndsinπnx2-cosπn2+2πnsinπnx212=
=-2πn-4πnxsinπnx201-01sinπnx2dx-2πnsinπn2=
=-2πn-4πnsinπn2+2πncosπnx201-2πnsinπn2=
=4π2n23sinπn2+4πncosπn2-1=4π3n33πnsinπn2+4cosπn2-4.
Таким образом, решение исходной смешанной задачи (1) − (3) имеет вид
ux,t=n=1∞4π3n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-πn22tsinπnx2.
Ответ:
ux,t=4π3n=1∞1n33πnsinπn2+4cosπn2-4e-πn22tsinπnx2.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке

Условие

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

Решение

Исследовать на сходимость используя признаки сравнения

Найти производные функций y=x-35∙arcsin3x6

Вероятность того что работоспособным окажется первый компьютер составляет 2/3