Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке

Для решения задачи (1) – (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T'(t)=4X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на 4Xx∙T(t)
T'(t)4T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+4λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, u5,t=X5⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X5=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X5=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий (4)
X0=C1=0 X5=C2 sin5λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin5λ=0,
5λ=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πk52, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xkx=sinπkx5, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk't+4πk52Tkt=0,
Tk'(t)+2πk52Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Bke-2πk52t.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде
ux,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Ake-2πk52tsinπkx5.
Коэффициенты Ak этого ряда найдем из начального условия (2)
ux,0=k=1∞Aksinπkx5=φx.
Коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции φx в ряд Фурье по собственным функциям sinπkx5k=1∞
Ak=2505φxsinπkx5dx=2505/22x25sinπkx5dx+5/255-xsinπkx5dx=
=25-5πk05/22x25dcosπkx5+5/255-xdcosπkx5=
=-2πk2x25cosπkx505/2-05/24x5cosπkx5dx+5-xcosπkx55/25+5/25cosπkx5dx=
=-2πk52cosπk2-45⋅5πk05/2x dsinπkx5-52cosπk2+5πksinπkx55/25=
=-2πk-4πkxsinπkx505/2-05/2sinπkx5dx+5πksinπk-sinπk2=
=-2πk-4πk52sinπk2+5πkcosπkx505/2-5πksinπk2=
=-2πk-15πksinπk2-20π2k2cosπk2-1=30π2k2sinπk2+40π3k3cosπk2-1.
Таким образом, решение исходной начально-краевой задачи имеет вид
ux,t=k=1∞30π2k2sinπk2+40π3k3cosπk2-1e-2πk52tsinπkx5.
Ответ:
ux,t=k=1∞30π2k2sinπk2+40π3k3cosπk2-1e-4π2k2t25sinπkx5.