Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности
∂u∂t=k∂2u∂x2+fx,t, a<x<b, 0<t≤Tua,t=g1t, ub,t=g2t, 0<t≤T ux,0=φx, a≤x≤b
используя явную разностную схему. Взять h=(b-a)/10, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближенного решения от x при τ=0, 2τ, 4τ, …,T
∂u∂t=0,1∂2u∂x2, 0<x<1, 0<t≤Tu0,t=2sint, u1,t=cost, 0<t≤T ux,0=x, 0≤x≤1
Решение
Введем сетку в области изменения независимых переменных:
wh={xi=ih, i=0,1,…,N}
h=0,1
определим из условия:
τ≤0,5(h2/k)
τ≤0,5*0,010,1=0,05
T=0,5
Таким образом, шаг по пространственной координате равен 0,1, шаг по временной координате – 0,05. Значит, координаты x, в которых определяется решение, равняются:
x=0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.
Временная координата t принимает значения:
t=0; 0,05; 0,1;0,15;0,20;0,25;0,30;0,35;0,40;0,45; 0,50.
Исходное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением:
u(xi,tj+τ)-u(xi,tj)τ=0,1u(xi-h,tj)-2u(xi,tj)+u(xi+h,tj)h2
В граничных точках:
u0;0=0,
u0;0,05=0,09996,
u(0;0,1)=0,19967,
u(0;0,15)=0,29888,
u(0;0,20)=0,39734,
u0;0,25=0,49481,
u0;0,30=0,59104,
u0;0,35=0,6858
u0;0,40=0,77884,
u0;0,45=0,86993,
u0;0,50=0,95885,
u1;0,05=0,99875,
u(1;0,1)=0,995,
u(1;0,15)=0,98877,
u(1;0,20)=0,98007,
u1;0,25=0,96891,
u1;0,30=0,95534,
u1;0,35=0,93937
u1;0,40=0,92106,
u1;0,45=0,90045,
u1;0,50=0,87758,
u0;0=0,
u0,1;0=0,1,
u0,2;0=0,2,
u0,3;0=0,3,
u0,4;0=0,4,
u0,5;0=0,5,
u0,6;0=0,6,
u0,7;0=0,7,
u0,8;0=0,8,
u0,9;0=0,9,
u1;0=1,
Первый слой:
u(xi,tj+τ)-u(xi,tj)τ=0,1u(xi-h,tj)-2u(xi,tj)+u(xi+h,tj)h2
u(0,1;0,05)-u(0,1;0)0,05=0,1u(0;0)-2u(0,1;0)+u(0,2;0)0,01
u(0,2;0,05)-u(0,2;0)0,05=0,1u(0,1;0)-2u(0,2;0)+u(0,3;0)0,01
u(0,3;0,02)-u(0,3;0)0,02=0,1u(0,2;0)-2u(0,3;0)+u(0,4;0)0,01
u(0,4;0,05)-u(0,4;0)0,05=0,1u(0,3;0)-2u(0,4;0)+u(0,5;0)0,01
u(0,5;0,05)-u(0,5;0)0,05=0,1u(0,4;0)-2u(0,5;0)+u(0,6;0)0,01
u(0,6;0,05)-u(0,6;0)0,05=0,1u(0,5;0)-2u(0,6;0)+u(0,7;0)0,01
u(0,7;0,05)-u(0,7;0)0,05=0,1u(0,6;0)-2u(0,7;0)+u(0,8;0)0,01
u(0,8;0,02)-u(0,8;0)0,05=0,1u(0,7;0)-2u(0,8;0)+u(0,9;0)0,01
u(0,9;0,05)-u(0,9;0)0,05=0,1u(0,8;0)-2u(0,9;0)+u(1;0)0,01
Откуда находим значения для первого слоя:
u0,2;0,05-u0,2;0=0,5u0;0-u0,2;0+0,5u0,4;0
u0,4;0,05-u0,4;0=0,5u0,2;0-u0,4;0+0,5u0,6;0
u0,6;0,05-u0,6;0=0,5u0,4;0-u0,6;0+0,5u0,8;0
u0,8;0,05-u0,8;0=0,5u0,6;0-u0,8;0+0,5u1;0
u1;0,05-u1;0=0,5u0,8;0-u1;0+0,5u1,2;0
u1,2;0,05-u1,2;0=0,5u1;0-u1,2;0+0,5u1,4;0
u1,4;0,05-u1,4;0=0,5u1,2;0-u1,4;0+0,5u1,6;0
u1,6;0,05-u1,6;0=0,5u1,4;0-u1,6;0+0,5u1,8;0
u1,8;0,05-u1,8;0=0,5u1,6;0-u1,8;0+0,5u2;0
u0,2;0,05=0,5u0;0+0,5u0,4;0
u0,2;0,05=0,5u0,1;0+0,5u0,3;0
u0,3;0,05=0,5u0,2;0+0,5u0,4;0
u0,4;0,05=0,5u0,3;0+0,5u0,5;0
u0,5;0,05=0,5u0,4;0+0,5u0,6;0
u0,6;0,05=0,5u0,5;0+0,5u0,7;0
u0,7;0,05=0,5u0,6;0+0,5u0,8;0
u0,8;0,05=0,5u0,7;0+0,5u0,9;0
u0,9;0,05=0,5u0,8;0+0,5u1;0
Найдены значения для первого слоя:
u(0,1;0,01)=0,1
u(0,2;0,01)=0,2
u(0,3;0,01)=0,3
u(0,4;0,01)=0,4
u0,5;0,01=0,5
u(0,6;0,01)=0,6
u(0,7;0,01)=0,7
u(0,8;0,01)=0,8
u(0,9;0,01)=0,9
Остальные расчеты в таблице:
t
x 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
0 0 0,09996 0,199667 0,298876 0,397339 0,494808 0,59104 0,685796 0,778837 0,869931 0,958851
0,1 0,001 0,1 0,149979 0,199833 0,261933 0,323628 0,391011 0,457667 0,527333 0,595932 0,666021
0,2 0,008 0,2 0,2 0,22499 0,249917 0,287214 0,324293 0,368871 0,413026 0,462111 0,510531
0,3 0,027 0,3 0,3 0,3 0,312495 0,324958 0,346731 0,368386 0,396889 0,425131 0,458489
0,4 0,064 0,4 0,4 0,4 0,4 0,406247 0,412479 0,424908 0,437235 0,454867 0,472264
0,5 0,125 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,503085 0,506083 0,512845 0,519398 0,529583
0,6 0,216 0,6 0,6 0,6 0,6 0,599922 0,599688 0,600782 0,601562 0,6043 0,606578
0,7 0,343 0,7 0,7 0,7 0,699844 0,699376 0,698479 0,69704 0,695754 0,693757 0,692351
0,8 0,512 0,8 0,8 0,799688 0,798751 0,797037 0,794392 0,790727 0,785952 0,780402 0,773632
0,9 0,729 0,9 0,899375 0,897502 0,894229 0,889409 0,882974 0,874864 0,86505 0,853507 0,840425
1 1 0,99875 0,995004 0,988771 0,980067 0,968912 0,955336 0,939373 0,921061 0,900447 0,877583
Графики зависимости приближенного решения от x:
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
