Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности
∂u∂t=k∂2u∂x2+fx,t, a<x<b, 0<t≤Tua,t=g1t, ub,t=g2t, 0<t≤T ux,0=φx, a≤x≤b
используя явную разностную схему. Взять h=(b-a)/10, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближенного решения от x при τ=0, 2τ, 4τ, …T
∂u∂t=0,5∂2u∂x2+t, 0<x<1, 0<t≤Tu0,t=5t, u1,t=10t, 0<t≤T ux,0=0, a≤x≤b
Решение
Введем сетку в области изменения независимых переменных:
wh={xi=ih, i=0,1,…,N}
h=0,1
определим из условия:
τ≤0,5(h2/k)
τ≤0,5*0,010,5=0,01
T=0,5
Таким образом, шаг по пространственной координате равен 0, 1, шаг по временной координате – 0,01. Значит, координаты x, в которых определяется решение, равняются:
x=0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.
Временная координата t принимает значения:
t=0; 0,01; 0,02;0,03;0,04;0,05;0,06;0,07;0,08;0,09; 0,1.
Исходное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением:
u(xi,tj+τ)-u(xi,tj)τ=0,1u(xi-h,tj)-2u(xi,tj)+u(xi+h,tj)h2
В граничных точках:
∂u∂t=0,5∂2u∂x2+t, 0<x<1, 0<t≤Tu0,t=5t, u1,t=10t, 0<t≤T ux,0=0, a≤x≤b
u0;0=0
u0;0,01=0,05
u0;0,02=0,5
u0;0,03=0,15
u0;0,04=0,2
u0;0,05=0,25
u0;0,06=0,3
u0;0,07=0,35
u0;0,08=0,4
u0;0,09=0,45
u0;0,1=0,5
u1;0=0
u1;0,01=0,1
u1;0,02=0,2
u1;0,03=0,3
u1;0,04=0,4
u1;0,05=0,5
u1;0,06=0,6
u1;0,07=0,7
u1;0,08=0,8
u1;0,09=0,9
u1;0,1=1,0
u0,1;0=u0,2;0=u0,3;0=u0,4;0=u0,5;0=u0,6;0=u0,7;0=u0,8;0=u0,9;0=0
Первый слой:
u(0,1;0,01)-u(0,1;0)0,01=0,5u(0;0)-2u(0,1;0)+u(0,2;0)0,01+0
u(0,2;0,01)-u(0,2;0)0,01=0,5u(0,1;0)-2u(0,2;0)+u(0,3;0)0,01
u(0,3;0,01)-u(0,3;0)0,01=0,5u(0,2;0)-2u(0,3;0)+u(0,4;0)0,01
u(0,4;0,01)-u(0,4;0)0,01=0,5u(0,3;0)-2u(0,4;0)+u(0,5;0)0,01
u(0,5;0,01)-u(0,5;0)0,01=0,5u(0,4;0)-2u(0,5;0)+u(0,6;0)0,01
u(0,6;0,01)-u(0,6;0)0,01=0,5u(0,5;0)-2u(0,6;0)+u(0,7;0)0,01
u(0,7;0,01)-u(0,7;0)0,01=0,5u(0,6;0)-2u(0,7;0)+u(0,8;0)0,01
u(0,8;0,01)-u(0,8;0)0,01=0,5u(0,7;0)-2u(0,8;0)+u(0,9;0)0,01
u(0,9;0,01)-u(0,9;0)0,01=0,5u(0,8;0)-2u(0,9;0)+u(1;0)0,01
Откуда находим значения для первого слоя:
u0,1;0,01-u0,1;0=0,5u0;0-u0,1;0+0,5u0,2;0
u0,2;0,01-u0,2;0=0,5u0,1;0-u0,2;0+0,5u0,3;0
u0,3;0,01-u0,3;0=0,5u0,2;0-u0,3;0+0,5u0,4;0
u0,4;0,01-u0,4;0=0,5u0,3;0-u0,4;0+0,5u0,5;0
u0,5;0,01-u0,5;0=0,5u0,4;0-u0,5;0+0,5u0,6;0
u0,6;0,01-u0,6;0=0,5u0,5;0-u0,6;0+0,5u0,7;0
u0,7;0,01-u0,7;0=0,5u0,6;0-u0,7;0+0,5u0,8;0
u0,8;0,01-u0,8;0=0,5u0,7;0-u0,8;0+0,5u0,9;0
u0,9;0,01-u0,9;0=0,5u0,8;0-u0,9;0+0,5u1;0
u0,1;0,01=0,5u0;0+0,5u0,2;0
u0,2;0,01=0,5u0,1;0+0,5u0,3;0
u0,3;0,01=0,5u0,2;0+0,5u0,4;0
u0,4;0,01=0,5u0,3;0+0,5u0,5;0
u0,5;0,01=0,5u0,4;0+0,5u0,6;0
u0,6;0,01=0,5u0,5;0+0,5u0,7;0
u0,7;0,01=0,5u0,6;0+0,5u0,8;0
u0,8;0,01=0,5u0,7;0+0,5u0,9;0
u0,9;0,01=0,5u0,8;0+0,5u1;0
Найдены значения для первого слоя:
u(0,1;0,01)=0,05
u(0,2;0,01)=0
u(0,3;0,01)=0
u(0,4;0,05)=0
u0,5;0,05=0
u(0,6;0,05)=0
u(0,7;0,05)=0
u(0,8;0,05)=0
u(0,9;0,05)=0
Остальные расчеты в таблице:
t
x 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
0 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
0,1 0 0 0,045 0,09 0,14625 0,205 0,270625 0,33875 0,411953 0,4875 0,567344
0,2 0 0 0,02 0,0625 0,11 0,17125 0,2375 0,313906 0,395 0,484688 0,578672
0,3 0 0 0,02 0,05 0,09625 0,15 0,217188 0,29125 0,377422 0,469844 0,573398
0,4 0 0 0,02 0,05 0,09 0,143125 0,205 0,280938 0,364688 0,462109 0,566563
0,5 0 0 0,02 0,05 0,09 0,14 0,204688 0,278125 0,366797 0,463281 0,574219
0,6 0 0 0,02 0,05 0,09 0,14625 0,21125 0,292656 0,381875 0,486328 0,597813
0,7 0 0 0,02 0,05 0,1025 0,1625 0,240625 0,325625 0,425859 0,532344 0,652012
0,8 0 0 0,02 0,075 0,135 0,215 0,3 0,399063 0,502813 0,617695 0,736875
0,9 0 0 0,07 0,14 0,2275 0,3175 0,4175 0,52 0,629531 0,741406 0,858848
1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Графики зависимости приближенного решения от x:
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
