Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности
∂u∂t=k∂2u∂x2+fx,t, a<x<b, 0<t≤Tua,t=g1t, ub,t=g2t, 0<t≤T ux,0=φx, a≤x≤b
используя явную разностную схему. Взять h=(b-a)/10, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближенного решения от x при τ=0, 2τ, 4τ, …T
∂u∂t=0,4∂2u∂x2+cost, 0<x<1, 0<t≤Tu0,t=1, u1,t=1, 0<t≤T ux,0=1, a≤x≤b
Решение
Введем сетку в области изменения независимых переменных:
wh={xi=ih, i=0,1,…,N}
h=0,1
определим из условия:
τ≤0,5(h2/k)
τ≤0,5*0,010,4=0,0125
T=0,125
Таким образом, шаг по пространственной координате равен 0, 1, шаг по временной координате – 0,01. Значит, координаты x, в которых определяется решение, равняются:
x=0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.
Временная координата t принимает значения:
t=0; 0,0125; 0,0250;0,0375;0,05;0,0625;0,0750;0,875;0,1;0,1125; 0,125.
Исходное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением:
u(xi,tj+τ)-u(xi,tj)τ=0,4u(xi-h,tj)-2u(xi,tj)+u(xi+h,tj)h2+costj
В граничных точках:
u0;0=u0;0,0125=…=u(0;125)=1,
u1;0=u1;0,0125=…=u1;0,125=1,
u0,1;0=u0,2;0=…=u1;0=1,
Первый слой:
u(0,1;0,0125)-u(0,1;0)0,0125=0,4u(0;0)-2u(0,1;0)+u(0,2;0)0,01+1
u(0,2;0,0125)-u(0,2;0)0,0125=0,4u(0,1;0)-2u(0,2;0)+u(0,3;0)0,01+1
u(0,3;0,0125)-u(0,3;0)0,0125=0,4u(0,2;0)-2u(0,3;0)+u(0,4;0)0,01+1
u(0,4;0,0125)-u(0,4;0)0,0125=0,4u(0,3;0)-2u(0,4;0)+u(0,5;0)0,01+1
u(0,5;0,0125)-u(0,5;0)0,0125=0,4u(0,4;0)-2u(0,5;0)+u(0,6;0)0,01+1
u(0,6;0,0125)-u(0,6;0)0,0125=0,4u(0,5;0)-2u(0,6;0)+u(0,7;0)0,01+1
u(0,7;0,0125)-u(0,7;0)0,0125=0,4u(0,6;0)-2u(0,7;0)+u(0,8;0)0,01+1
u(0,8;0,0125)-u(0,8;0)0,0125=0,4u(0,7;0)-2u(0,8;0)+u(0,9;0)0,01+1
u(0,9;0,0125)-u(0,9;0)0,0125=0,4u(0,8;0)-2u(0,9;0)+u(1;0)0,01+1
Откуда находим значения для первого слоя:
u0,1;0,0125-u0,1;0=0,5u0;0-u0,1;0+0,5u0,2;0+0,0125
u0,2;0,0125-u0,2;0=0,5u0,1;0-u0,2;0+0,5u0,3;0+0,0125
u0,3;0,0125-u0,3;0=0,5u0,2;0-u0,3;0+0,5u0,4;0+0,0125
u0,4;0,0125-u0,4;0=0,5u0,3;0-u0,4;0+0,5u0,5;0+0,0125
u0,5;0,0125-u0,5;0=0,5u0,4;0-u0,5;0+0,5u0,6;0+0,0125
u0,6;0,0125-u0,6;0=0,5u0,5;0-u0,6;0+0,5u0,7;0+0,0125
u0,7;0,0125-u0,7;0=0,5u0,6;0-u0,7;0+0,5u0,8;0+0,0125
u0,8;0,0125-u0,8;0=0,5u0,7;0-u0,8;0+0,5u0,9;0+0,0125
u0,9;0,0125-u0,9;0=0,5u0,8;0-u0,9;0+0,5u1;0+0,0125
u0,1;0,0125=0,5u0;0+0,5u0,2;0+0,0125
u0,2;0,0125=0,5u0,1;0+0,5u0,3;0+0,0125
u0,3;0,0125=0,5u0,2;0+0,5u0,4;0+0,0125
u0,4;0,0125=0,5u0,3;0+0,5u0,5;0+0,0125
u0,5;0,0125=0,5u0,4;0+0,5u0,6;0+0,0125
u0,6;0,0125=0,5u0,5;0+0,5u0,7;0+0,0125
u0,7;0,0125=0,5u0,6;0+0,5u0,8;0+0,0125
u0,8;0,0125=0,5u0,7;0+0,5u0,9;0+0,0125
u0,9;0,0125=0,5u0,8;0+0,5u1;0+0,0125
Найдены значения для первого слоя:
u(0,1;0,0125)=1,88
u(0,2;0,0125)=1,75
u(0,3;0,0125)=1,6
u(0,4;0,0125)=1,43
u0,5;0,0125=1,24
u(0,6;0,0125)=1,03
u(0,7;0,0125)=0,8
u(0,8;0,0125)=0,55
u(0,9;0,0125)=0,28
Остальные расчеты в таблице:
t
x 0 0,0125 0,025 0,0375 0,05 0,0625 0,075 0,0875 0,1 0,1125 0,125
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0,1 1 1,99992 2,49965 2,999102 3,37321 3,74693 4,05768 4,36794 4,638584 4,908639 5,148768
0,2 1 1,99992 2,99961 3,748926 4,49775 5,12099 5,74353 6,28716 6,829922 7,313141 7,795337
0,3 1 1,99992 2,99961 3,998906 4,87267 5,74575 6,52429 7,30190 8,000342 8,697639 9,325323
0,4 1 1,999922 2,99961 3,998906 4,99766 5,93321 6,86792 7,72352 8,577998 9,35311 10,12686
0,5 1 1,99992 2,99961 3,998906 4,99766 5,99570 6,93040 7,86409 8,718521 9,571677 10,34531
0,6 1 1,99992 2,9991 3,998906 4,99766 5,93321 6,86792 7,72352 8,577998 9,35311 10,12686
0,7 1 1,99992 2,99961 3,998906 4,87267 5,74575 6,52429 7,301897 8,000342 8,697639 9,325323
0,8 1 1,99992 2,99961 3,748926 4,49775 5,12099 5,74353 6,287159 6,829922 7,313141 7,795337
0,9 1 1,99992 2,49965 2,999102 3,37321 3,74693 4,05768 4,367938 4,638584 4,908639 5,148768
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Графики зависимости приближенного решения от x:
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
