Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности
∂u∂t=k∂2u∂x2+fx,t, a<x<b, 0<t≤Tua,t=g1t, ub,t=g2t, 0<t≤T ux,0=φx, a≤x≤b
используя явную разностную схему. Взять h=(b-a)/10, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближенного решения от x при τ=0, 2τ, 4τ, …,T
∂u∂t=∂2u∂x2+x, 0<x<2, 0<t≤Tu0,t=0, u2,t=0, 0<t≤T ux,0=0, 0≤x≤1
Решение
Введем сетку в области изменения независимых переменных:
wh={xi=ih, i=0,1,…,N}
h=0,2
определим из условия:
τ≤0,5(h2/k)
τ≤0,5*0,041=0,02
T=0,2
Таким образом, шаг по пространственной координате равен 0,2, шаг по временной координате – 0,02. Значит, координаты x, в которых определяется решение, равняются:
x=0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2.
Временная координата t принимает значения:
t=0; 0,02; 0,04;0,06;0,08;0,10;0,12;0,14;0,16;0,18; 0,2.
Исходное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением:
u(xi,tj+τ)-u(xi,tj)τ=u(xi-h,tj)-2u(xi,tj)+u(xi+h,tj)h2+xi
В граничных точках:
∂u∂t=∂2u∂x2+x, 0<x<2, 0<t≤Tu0,t=0, u2,t=0, 0<t≤T ux,0=0, 0≤x≤1
u0;0=1,
u0;0,02=0,
...
u0;0,2=0,
u2;0=0,
u2;0,02=0,
...
u2;0,2=0,
u0,2;0=0,
...
u2;0=0,
Первый слой:
u(0,2;0,02)-u(0,2;0)0,02=u(0;0)-2u(0,2;0)+u(0,4;0)0,04+0.2
u(0,4;0,02)-u(0,4;0)0,02=u(0,2;0)-2u(0,4;0)+u(0,6;0)0,04+0.4
u(0,6;0,02)-u(0,6;0)0,02=u(0,4;0)-2u(0,6;0)+u(0,8;0)0,04+0.6
u(0,8;0,02)-u(0,8;0)0,02=u(0,6;0)-2u(0,8;0)+u(1;0)0,04+0.8
u(1;0,02)-u(1;0)0,02=u(0,8;0)-2u(1;0)+u(1,2;0)0,04+1
u(1,2;0,02)-u(1,2;0)0,02=u(1;0)-2u(1,2;0)+u(1,4;0)0,04+1,2
u(1,4;0,02)-u(1,4;0)0,005=u(1,2;0)-2u(1,4;0)+u(1,6;0)0,04+1,4
u(1,6;0,02)-u(1,6;0)0,02=u(1,4;0)-2u(1,6;0)+u(1,8;0)0,04+1,6
u(1,8;0,02)-u(1,8;0)0,02=u(1,6;0)-2u(1,8;0)+u(2;0)0,04+1,8
Откуда находим значения для первого слоя:
u0,2;0,02-u0,2;0=0,5u0;0-u0,2;0+0,5u0,4;0+0,004
u0,4;0,02-u0,4;0=0,5u0,2;0-u0,4;0+0,5u0,6;0+0,008
u0,6;0,02-u0,6;0=0,5u0,4;0-u0,6;0+0,5u0,8;0+0,012
u0,8;0,02-u0,8;0=0,5u0,6;0-u0,8;0+0,5u1;0+0,016
u1;0,02-u1;0=0,5u0,8;0-u1;0+0,5u1,2;0+0,02
u1,2;0,02-u1,2;0=0,5u1;0-u1,2;0+0,5u1,4;0+0,024
u1,4;0,02-u1,4;0=0,5u1,2;0-u1,4;0+0,5u1,6;0+0,028
u1,6;0,02-u1,6;0=0,5u1,4;0-u1,6;0+0,5u1,8;0+0,032
u1,8;0,02-u1,8;0=0,5u1,6;0-u1,8;0+0,5u2;0+0,036
u0,2;0,02=0,5u0;0+0,5u0,4;0+0,004
u0,4;0,02=0,5u0,2;0+0,5u0,6;0+0,008
u0,6;0,02=0,5u0,4;0+0,5u0,8;0+0,012
u0,8;0,02=0,5u0,6;0+0,5u1;0+0,016
u1;0,02=0,5u0,8;0+0,5u1,2;0+0,02
u1,2;0,02=0,5u1;0+0,5u1,4;0+0,024
u1,4;0,02=0,5u1,2;0+0,5u1,6;0+0,028
u1,6;0,02=0,5u1,4;0+0,5u1,8;0+0,032
u1,8;0,02=0,5u1,6;0+0,5u2;0+0,036
Найдены значения для первого слоя:
u0,2;0,02=0,004
u0,4;0,02=0,008
u0,6;0,02=0,012
u0,8;0,02=0,016
u1;0,02=0,02
u1,2;0,02=0,024
u1,4;0,02=0,028
u1,6;0,02=0,032
u1,8;0,02=0,036
Остальные расчеты в таблице:
t
x 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,2 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,02 0,024 0,028 0,032 0,036 0,039922
0,4 0 0,008 0,016 0,024 0,032 0,04 0,048 0,056 0,064 0,071844 0,079688
0,6 0 0,012 0,024 0,036 0,048 0,06 0,072 0,084 0,095688 0,107375 0,118516
0,8 0 0,016 0,032 0,048 0,064 0,08 0,096 0,111375 0,12675 0,141188 0,155625
1 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,11875 0,1375 0,154688 0,171875 0,1875
1,2 0 0,024 0,048 0,072 0,096 0,1175 0,139 0,158 0,177 0,193813 0,210625
1,4 0 0,028 0,056 0,084 0,107 0,13 0,14925 0,1685 0,184938 0,201375 0,215625
1,6 0 0,032 0,064 0,086 0,108 0,125 0,142 0,155875 0,16975 0,181438 0,193125
1,8 0 0,036 0,052 0,068 0,079 0,09 0,0985 0,107 0,113938 0,120875 0,126719
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Графики зависимости приближенного решения от x:
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
