Найти поперечные колебания струны один конец x=0 которой жестко закреплен

Поперечные отклонения струны ux,t описываются одномерным волновым уравнением
utt=a2uxx, 0<x<l, t>0.
(1)
Левый край закреплен, а правый свободен, следовательно, имеем граничные условия
u0,t=0, uxl,t=0.
(2)
Начальные условия
ux,0=Cx, utx,0=φ(x)=v0 при x∈[x0-δ;x0+δ]0 при x∉[x0-δ;x0+δ].
(3)
Для решения начально-краевой задачи (1) – (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное частное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T''t=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T''(t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+λXx=0,
T''t+a2λTt=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, uxl,t=X'l⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X'l=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X'l=0
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=-λC1sinλx+λC2 cosλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X'l=-λC1sinλl+λC2 cosλl=λC2 cosλl=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cosλl=0,
λl=π2+πn=π(1+2n)2, n=0,1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=π1+2n2l2, n=0,1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπ(1+2n)x2l, n=0,1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn''(t)+aπ(1+2n)2l2Tnt=0.
Общее решение этого уравнения
Tnt=Ancosaπ(1+2n)t2l+Bnsinaπ(1+2n)t2l.
Решение ux,t исходной задачи будем искать в виде ряда по собственным функциям
ux,t=n=0∞TntXnx=
=n=0∞Ancosaπ(1+2n)t2l+Bnsinaπ(1+2n)t2lsinπ(1+2n)x2l,
utx,t=n=0∞aπ1+2n2l-Ansinaπ(1+2n)t2l+Bncosaπ(1+2n)t2lsinπ(1+2n)x2l.
Коэффициенты An, Bn этого ряда найдем из начальных условий (3)
ux,0=n=0∞Ansinπ(1+2n)x2l=Cx,
utx,0=n=0∞aπ1+2n2lBnsinπ(1+2n)x2l=φ(x)=v0 при x∈[x0-δ;x0+δ]0 при x∉[x0-δ;x0+δ]