Найти поперечные колебания струны, один конец x=0 которой жестко закреплен, а другой x=l свободен. Начальное отклонение равно нулю. Начальная скорость совпадает с собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля при n=7.
Ответ
ux,t=2l13aπsin13aπt2lsin13πx2l.
Решение
Поперечные отклонение точек струны от положения равновесия ux,t удовлетворяет одномерному волновому уравнению
∂2u∂t2=a2∂2u∂x2, 0<x<l, t>0,
(1)
где a2=T/ρ, T − натяжение струны, ρ − линейная плотность струны.
Граничные условия (левый конец закреплен, правый − свободен) имеют вид
u0,t=0, uxl,t=0,
(2)
Начальные условия
ux,0=0, ∂ux,0∂t=X7(x).
(3)
где X7(x) − собственная функция задачи Штурма-Лиувилля при n=7.
Для решения задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T''t=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T''(t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const ,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+λXx=0,
T''t+a2λTt=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, uxl,t=X'l⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X'l=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X'l=0
Для того чтобы найти решение этого однородного уравнения, определим корни характеристического уравнения
μ2+λ=0, μ1,2=±iλ
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C1eiλx+C2e-iλx ,
Удобнее фундаментальную систему решений взять в виде
cosλx=eiλx+e-iλx2, sinλx=eiλx-e-iλx2i
и решение записать как
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=-λC1sinλx+λC2 cosλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X'l=λC2 cosλl=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cosλl=0,
λl=-π2+πn=π(2n-1)2, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=π2n-12l2, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπ2n-1x2l, n=1,2,…
Соотношение ортогональности для собственных функций
Xnx,Xmx=0lsinπ2n-1x2lsinπ2m-1x2ldx=0, при m≠nl2, при m=n
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn''(t)+aπ2n-12l2Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ancosaπ2n-1t2l+Bnsinaπ2n-1t2l.
Решение ux,t исходной задачи представим в виде ряда
ux,t=n=1∞TntXnx=
=n=1∞Ancosaπ2n-1t2l+Bnsinaπ2n-1t2lsinπ2n-1x2l,
∂u∂t=n=1∞aπ2n-12l-Ansinaπ2n-1t2l+Bncosaπ2n-1t2lsinπ2n-1x2l.
Коэффициенты An, Bn этого ряда найдем из начальных условий (3)
ux,0=n=1∞An sinπ2n-1x2l=0,
∂ux,0∂t=n=1∞aπ2n-12lBn sinπ2n-1x2l=X7x=sin13πx2l.
Учитывая полноту системы собственных функций sinπ(2n-1)x2ln=1∞, из первого равенства следует
An=0, n=1,2,…
Из второго равенства следует, что коэффициенты aπ2n-12lBn представляют собой коэффициенты разложения функции X7x=sin13πx2l в ряд Фурье по собственным функциям sinπ(2n-1)x2ln=1∞, тогда сравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях получим
13aπ2lB7=1, aπ2n-12lBn=0, n≠7
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
