Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений x=-2x-4y+1+4t,y=-x+y+3t2/2.

Ответ

x(t)=4C1e-3t-C2e2t+t2+t,yt=C1e-3t+C2e2t-t22.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Решаем однородную систему
x=-2x-4y,y=-x+y.
Характеристическое уравнение
-2-λ-4-11-λ=λ2+λ-6=0⇒λ1,2=-1±1+242=-1±52,
λ1=-3, λ2=2.
Найдем собственные векторы.
Для λ1=-3 имеем
1-4-14ξ11ξ12=0, ξ11-4ξ12=0-ξ11+4ξ12=0,
откуда
ξ1=41.
Для λ2=2 имеем
-4-4-1-1ξ21ξ22=0, -4ξ21-4ξ22=0-ξ21-ξ22=0,
откуда
ξ2=-11.
Общее решение однородной системы будет иметь вид
X1t=c1ξ1eλ1t+c2ξ2eλ2t=c141e-3t+c2-11e2t.
Ищем общее решение исходной системы в виде
Xt=c1t41e-3t+c2t-11e2t.
Имеем
x(t)=4c1(t)e-3t-c2(t)e2t,yt=c1te-3t+c2(t)e2t.
Откуда получим
xt=4c1te-3t-c2te2t-12c1te-3t-2c2te2t=,yt=c1te-3t+c2te2t-3c1te-3t+2c2(t)e2t.
Подставив в исходную систему, имеем
4c1te-3t-c2te2t-12c1te-3t-2c2te2t=-8c1te-3t+2c2te2t--4c1te-3t-4c2te2t+1+4t,c1te-3t+c2te2t-3c1te-3t+2c2te2t=-4c1te-3t+c2te2t++c1te-3t+c2te2t+3t2/2,
4c1te-3t-c2te2t=1+4t,c1te-3t+c2te2t=3t2/2, c1t=151+4t+3t2/2e3t,c2t=156t2-4t-1e-2t
c1t=151+4t+3t22e3tdt=1151+4t+3t22de3t=
=1151+4t+3t22e3t-1154+3te3tdt=
=1151+4t+3t22e3t-1454+3tde3t=
=1151+4t+3t22e3t-1454+3te3t-3e3tdt=
=1151+4t+3t22e3t-1454+3te3t-e3t+C1=
=15t+t22e3t+C1.
c2t=156t2-4t-1e-2tdt=-1106t2-4t-1de-2t=
=-1106t2-4t-1e-2t+11012t-4e-2tdt=
=-1106t2-4t-1e-2t-153t-1de-2t=
=-1106t2-4t-1e-2t-153t-1e-2t-3e-2tdt=
=-1106t2-4t-1e-2t-153t-1e-2t+32e-2t+C2=
=-153t2+te-2t+C2.
Тогда
Xt=xtyt=45t+t22+4C1e-3t+153t2+t-C2e2t15t+t22+C1e-3t-153t2+t+C2e2t=
=4C1e-3t-C2e2t+t2+tC1e-3t+C2e2t-t22.
Ответ: x(t)=4C1e-3t-C2e2t+t2+t,yt=C1e-3t+C2e2t-t22.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу