Найти общее решение дифференциального уравнения

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение однородного уравнения:
y''-2y'+y=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k2-2k+1=0
(k-1)2=0
k1,2=1
Так как корни характеристического уравнения действительные кратные, то общее решение однородного уравнения запишем в виде:
y0=C1ex+C2xex
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y=C1xy1(x)+C2(x)y2(x)
y1x=ex y2x=xex
Неизвестные функции найдем из системы уравнений:
C1'xy1x+C2'(x)y2x=0C1'xy1'x+C2'(x)y2'x=x2+2x+2x3
C1'xex+C2'(x)xex=0C1'xex+C2'xex(1+x)=x2+2x+2x3
C1'x+C2'xx=0C1'x+C2'x1+x=x2+2x+2x3∙e-x
C1'x=-C2'xx-C2'xx+C2'x1+x=x2+2x+2x3∙e-x
C1'x=-C2'xxC2'x=x2+2x+2x3∙e-x
C2'x=x2+2x+2x3∙e-x =>
C2x=x2+2x+2x3∙e-xdx=1x+2x2+2x3e-xdx=
=1x+1x2+1x2+2x3e-xdx=1x+1x2e-xdx+1x2+2x3e-xdx=
Для первого интеграла применим формулу интегрирования по частям:
u=1x+1x2 dv=e-xdx
du=-1x2-2x3dx v=-e-x
=-e-x1x+1x2-1x2+2x3e-xdx+1x2+2x3e-xdx=-e-x1x+1x2+C3
C2x=-e-x1x+1x2+C3
C1'x=-C2'xx
C1'x=-x2+2x+2x2∙e-x
C1x=-x2+2x+2x2e-xdx=-1+2x+2x2e-xdx=
=-1+2xe-xdx-2x2e-xdx
Для первого интеграла применим формулу интегрирования по частям:
u=1+2x dv=e-xdx
du=-2x2dx v=-e-x
=e-x1+2x+2x2e-xdx-2x2e-xdx=e-x1+2x+C4
C1x=e-x1+2x+C4
Общее решение уравнения:
y=e-x1+2x+C4ex+-e-x1x+1x2+C3xex=
=1+2x+C4ex-x1x+1x2+C3xex=1+2x+C4ex-1-1x+C3xex=
=C4ex+C3xex+1x