Найти общее решение дифференциального уравнения y'+ysinx=6xecosx

Сделаем подстановку y=ux∙vx, y'=u'∙v+u∙v'. Подставим выражения для y и y в заданное уравнение:
u'∙v+u∙v'+uvsinx=6xecosx
v∙u'+usinx+u∙v'=6xecosx*
Найдём функцию u как частное решение уравнения u'+usinx=0 . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
duu=-sinxdx,
duu=-sinxdx,
lnu=cosx=>u=ecosx.
Подставляя найденную функцию u=ecosxв уравнение (*), получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдём функцию v x :
v'ecosx=6xecosx=>v'=6x=>
v=6xdx=3x2+C.
Учитывая, что y uv , получим общее решение исходного уравнения
y 3x2+Cecosx.
Ответ:y=3x2+Cecosx.