Найти нижнюю и верхнюю цену игры заданной матрицей 3-2134-11-52

B1 B2 B3 a = min(Ai)
A1 3 -2 1 -2
A2 3 4 -1 -1
A3 1 -5 2 -5
b = max(Bi) 3 4 2
Нижняя цена игры a = max(ai) = -1,
Верхняя цена игры b = min(bj) = 2
Седловая точка отсутствует, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах -1 ≤ y ≤ 2.
Сведем задачу к задаче линейного программирования и решим с помощью инструмента «Поиск решения» программы Excel
Чтобы свести матричную игру для игрока А к задаче линейного программирования преобразуем платежную матрицу так, чтобы все ее элементы были больше нуля – прибавим ко всем элементам матрицы число 6. Получаем преобразованную платежную матрицу:
В=9479105718
Средний выигрыш А должен быть не меньше цены игры y при любом поведении игрока В. Так, если игрок В использует свою первую стратегию, то средний выигрыш игрока А составит: 9р1+9р2+7р3 , получаем неравенство 9р1+9р2+7р3≥y . Аналогично, записав неравенства для стратегий В2 и В3, получаем систему линейных ограничений:
9р1+9р2+7р3≥y4р1+10р2+5р1≥y7р1+5р2+8р1≥y
Из условия р1+р2+р3=1, разделив обе части уравнения на у (цена игры больше нуля, т.к. все элементы преобразованной матрицы больше нуля), получим целевую функцию Z=p1y+p2y+p3y . Цель игрока А – получить максимальный средний выигрыш, т.е. y→max, а значит 1y→min. Обозначим piy=xi (i=1, 2, 3), то целевая функция
Z=x1+x2+x3 →min
Перейдем в системе ограничений к переменным xi, разделив каждое неравенство на y>0, получим систему ограничений
9x1+9x2+7x3≥14x1+10x2+5x1≥17x1+5x2+8x1≥1
Таким образом, для нахождения оптимальной стратегии игрока А необходимо решить задачу линейного программирования, математическая модель которого имеет вид: 9x1+9x2+7x3≥14x1+10x2+5x1≥17x1+5x2+8x1≥1xi≥0, i=1, 2, 3
Z=x1+x2+x3 →min
Решим задачу средствами табличного редактора MS Excel «Поиск решения»
После ввода данных получим
1 1
целевая функция
изменяемые переменные 0,051538 0,076154 0,032308
0,16
ограничения
9 9 7 1,375385 1
4 10 1 1 1
7 5 8 1 1
Получили Z(0,051538; 0,076154, 0,032308)=0,16
Так как y=1z, и pi=yxi, то у=6,25 – 6 =0,25 -цена игры (вычитаем добавленное число 6)
p1=0,051538*6,25=0,321125
p2=0,076154*6,25=0,4759625
p3=0,032308*6,25=0,201925
Для игрока А получена стратегия (0,32; 0,48; 0,2)
Аналогичным образом строится задача линейного программирования для игрока В
9q1+4q2+7q3≤y9q1+10q2+5q1≤y7q1+1q2+8q1≤y
Из условия q1+q2+q3=1, разделив обе части уравнения на у (цена игры больше нуля, т.к