Найти наименьший корень уравнения с точностью ε=10-4 комбинированным методом
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Найти наименьший корень уравнения с точностью ε=10-4 комбинированным методом.
ln(3x)-sin(3x)=0
Постановка задачи.
Найти приближенное значение корня уравнения.
Процесс нахождения приближённых значений корней уравнения:
f(x) = 0, (1)
где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или
бесконечном интервале a < x < b разбивается на два этапа: 1) отделение корней; 2) уточнение корней до заданной степени точности.
Отделить корни − это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя способами − графическим и аналитическим.
После нахождения отрезка , на котором находится один корень, производится процесс уточнения корня до заданной точности одним из методов.
Комбинированный метод дает приближение корня с разных сторон Если faf''a>0, то приближение по методу касательных будет происходить слева, а по методу хорд – справа.
an+1=an-fanf'an, n=0,1,2…
bn+1=an∙fbn-bn∙f(an)fbn-f(an)
Если fbf''b>0, то приближение по методу касательных будет происходить справа, а по методу хорд – слева.
bn+1=bn-fbnf'bn, n=0,1,2…
an+1=an∙fbn-bn∙f(an)fbn-f(an)
Вычисления продолжаются до тех пор пока не будет достигнута заданная точность, т.е bn+1-an+1<ε.
Корень уравнения есть среднее арифметическое последних полученных значений
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
x≈0,7397
Выводы:
Численным методом (модифицированным методом Эйлера-Коши) найдено приближенное решение задачи Коши дифференциального уравнения с погрешностью в пределах 0,003.
С помощью 1 и 2 интерполяционных формул Ньютона найдены приближенные значения таблично заданной функции в точках, находящихся в начале и в конце таблицы и не совпадающих с узлами, с погрешностью в пределах 0,11.
Численным методом (методом Зейделя) найдено приближенное решение системы линейных уравнений с точностью 0,0001, потребовалось 7 итераций.
Численным методом (комбинированный метод хорд и касательных) удалось найти приближенное решение нелинейного уравнения с точностью 0,0001.
Решение
Отделим наименьший корень графически, построив график fx=ln(3x)-sin(3x) при x>0
Как видно из графика, на отрезке [0,5;1] находится один корень уравнения. Уточним корень комбинированным методом.
fx=ln(3x)-sin(3x)
f'(x)=1x-3cos(3x)
f''(x)=-1x2+9sin(3x)
f1f''1>0
b0=1, a0=0,5
b1=b0-fb0f'b0=1-0.9573.97≈0.75882
a1=a0∙fb0-b0∙f(a0)fb0-f(a0)=0.5∙0.957-1(-0.592)0.957-(-0.592)≈0.69104
b1-a1=0.75882-0.69104=0.068>ε.
b2=b1-fb1f'b1=0.75882-0.06143.26344≈0.73999
a2=a1∙fb1-b1∙f(a1)fb1-f(a1)=0.69104∙0.0614-0.75882(-0.1474)0.0614-(-0.1474)≈0.73888
b2-a2=0.73999-0.73888≈0.001>ε.
Дальнейшие результаты вычислений представим в таблице:
n
a
b
f(a) f(b) f'(b) |b-a|
0 0,5 1 -0,5920 0,9575 3,96998 0,500
1 0,69104 0,75882 -0,1474 0,0614 3,26344 0,068
2 0,73888 0,73999 -0,0026 0,0009 3,16497 0,001
3 0,73970 0,73970 0,0000 0,0000 3,16342 корень=0,7397
b3-a3=0.73970-0.73970=0<ε
x≈a3+b32=0,73970+0,739702≈0,7397
Ответ: x≈0,7397
Выводы:
Численным методом (модифицированным методом Эйлера-Коши) найдено приближенное решение задачи Коши дифференциального уравнения с погрешностью в пределах 0,003
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
