Найти эффективный (средний) потенциал действующий на заряженную частицу

Искомый потенциал представляет электростатический потенциал системы φ(r), характеризуемый объемной плотностью заряда вида:
ρr=eδr-eψ0r2,#1
где ψ0 – волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода. Первое слагаемое в (1) описывает плотность заряда связанную с наличием протона, второе представляет объемную плотность заряда электронного облака.
φ(r)=?
φr=?при r→∞
φr=?при r→0
В.ф . ψ0 основного состояния водорода:
ψ0r=1πa3e-ra, a=ℏ2Ze2μ,#2
В нашем случае Z=1 (заряд атома водорода).
Для того, чтобы найти φ(r) воспользуемся общим решением уравнения Пуассона:
φr=ρr'r-r'dr'=er-eψ0r'2r-r'dr',#3
где
1r-r'=1ri=0∞Plcosθr'rl, r'<r 1ri=0∞Plcosθrr'l, r>r,#4
где Pl – полином Лежандра; θ – угол между векторами r и r'